Bestäm räta linjens ekvation algebraiskt

Punkten $(a, b)$ ligger på linjen $y = kx + m$ om $b = ka + m$. Två punkter ger därför två ekvationer med de två okända talen $k$ och $m$. Den snabbaste metoden är oftast att först använda skillnaderna för $k$ och sedan sätta in en punkt för $m$. Om punkterna har samma $x$ koordinat blir nämnaren i lutningsformeln 0. Då är linjen lodrät och kan inte skrivas $y = kx + m$.

Om punkterna är identiska har du egentligen bara en punkt, och oändligt många linjer kan gå genom den. Kontrollera alltså att du fått två olika $x$ värden. Ett extra villkor, som känt $k$ eller känt $m$, kan ersätta den andra punkten.

Skriv punkterna som $(x_{1}, y_{1})$ och $(x_{2}, y_{2})$. Använd $k =\frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$. Om negativa koordinater förekommer sätter du dem inom parentes i differensen. För punkterna $(-2, 7)$ och $(3, -8)$ blir täljaren $-8 - 7 = -15$ och nämnaren $3 - (-2) = 5$. Därför är $k = -3$.

Gör en riktningstest före beräkningen. När $x$ ökar från $-2$ till 3 minskar $y$ från 7 till $-8$, så $k$ måste vara negativt. Detta fångar ett vanligt fel där subtraktion av ett negativt $x$ värde behandlas som vanlig subtraktion i stället för addition. Behåll $k$ som reducerat bråk om det inte blir ett heltal.

När $k$ är känt sätter du in koordinaterna från valfri av de två punkterna i $y = kx + m$. Isolera $m$ genom $m = y - kx$. Välj gärna punkten som ger enklast aritmetik. Om $k =\frac{3}{2}$ och punkterna är $(-4, -5)$ och $(2, 4)$ är den andra enkel: $m = 4 - (\frac{3}{2}) \cdot 2 = 4 - 3 = 1$.

Båda punkterna ska ge samma $m$. Med den första blir $m = -5 - (\frac{3}{2})(-4) = -5 + 6 = 1$. Att göra denna andra beräkning är en stark kontroll när koordinaterna är besvärliga. Om resultaten skiljer sig är antingen $k$ eller teckenhanteringen fel.

En linje med lutning $k$ genom $(x_{1}, y_{1})$ kan skrivas $y - y_{1} = k(x - x_{1})$. Formen kommer direkt från lutningsdefinitionen och kallas ofta punktform. Genom $(4, 7)$ med $k = 2$ blir $y - 7 = 2(x - 4)$. Utveckling ger $y - 7 = 2x - 8$ och $y = 2x - 1$.

Punktformen är särskilt praktisk när koordinaterna innehåller bråk eller när du bara behöver testa om en punkt ligger på linjen. Om slutfrågan efterfrågar $y = kx + m$ måste du ändå utveckla och isolera $y$. Kontrollera minustecknet i $x - x_{1}$. Om $x_{1}$ är negativt blir det $x - (-3) = x + 3$.

Om två punkter har samma $y$ koordinat men olika $x$ koordinater är förändringen i $y 0$ och $k = 0$. Linjen är vågrät och ekvationen är $y =$ det gemensamma $y$ värdet. Punkterna $(-3, 6)$ och $(8, 6)$ ger $y = 6$, vilket också kan skrivas $y = 0x + 6$.

Om punkterna har samma $x$ koordinat är linjen lodrät. Ekvationen skrivs $x =$ det gemensamma $x$ värdet, exempelvis $x = 4$. Den är inte grafen till en funktion $y$ av $x$ och saknar ett definierat ändligt $k$. Försök inte skriva $k = 0$; det skulle beskriva en vågrät linje, alltså motsatsen.

Om du känner en punkt och lutningen är linjen bestämd. Om du känner en punkt och att linjen är parallell med en annan linje tar du samma $k$ från den andra. Om linjen går genom $y$ axeln vid ett känt värde har du punkten $(0, m)$, som kan kombineras med en ytterligare punkt.

I textproblem kan $k$ komma från en förändring per enhet och punkten från en observation. En behållare töms linjärt med 7 liter per minut, så $k = -7$. Om den efter 4 minuter innehåller 52 liter har du punkten $(4, 52)$. Då är $m = 52 - (-7 \cdot 4) = 80$, och modellen är $V(t) = 80 - 7t$.

Sätt in $x$ koordinaten från den första punkten i ditt uttryck och kontrollera att $y$ värdet blir rätt. Upprepa med den andra. Detta kontrollerar både lutning och skärning. För $y = 3x + 2$ blir $f(1) = 5$ och $f(4) = 14$, så båda punkterna i det första exemplet verifieras.

Kontrollera dessutom grafens riktning och ungefärliga skärning. Om båda givna $y$ värdena är positiva kan $m$ ändå vara negativt, men det ska då vara rimligt utifrån lutningen och $x$ lägena. En snabb skiss kan hjälpa, men insättning är den exakta kontrollen.

När punkterna $(x_{1}, y_{1})$ och $(x_{2}, y_{2})$ är givna kan punktformen och lutningsformeln kombineras: $y - y_{1} = (\frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}})(x - x_{1})$. Formen visar direkt att linjen går genom den första punkten och har den lutning som de två punkterna bestämmer. För punkterna $(-1, 4)$ och $(5, -2)$ blir lutningen $\frac{-6}{6} = -1$, och formen $y - 4 = -1(x + 1)$. Efter förenkling fås $y = -x + 3$.

Direktformen är användbar som härledning men ska inte bli en formel som fylls i utan förståelse. Nämnaren kräver $x_{2} \ne x_{1}$. Om punkterna har samma $x$ koordinat är den korrekta linjen $x =$ den koordinaten. När en uppgift efterfrågar $k$ och $m$ formen utvecklar du parentesen och isolerar $y$. Kontrollera att båda punkterna uppfyller den utvecklade ekvationen, eftersom ett teckenfel i $x - x_{1}$ annars lätt följer med.

Du kan även härleda $m$ utan en separat ekvationslösning genom $m = y_{1} - kx_{1}$. Detta är samma insättning omskriven. Metoden är effektiv när $k$ är känt, men skriv ändå minst en kontrollrad. En korrekt lutning med fel $m$ ger en parallell linje genom fel punkt.

Om en linjes skärning med $x$ axeln är $a$ och skärningen med $y$ axeln är $b$ har du punkterna $(a, 0)$ och $(0, b)$. Då är $m = b$ och $k =\frac{0 - b}{a - 0} = \frac{-b}{a}$, förutsatt att $a$ inte är 0. Med skärningarna $(6, 0)$ och $(0, 9)$ blir $k = \frac{-9}{6} = \frac{-3}{2}$ och ekvationen $y = -(\frac{3}{2})x + 9$.

En alternativ form är $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$. Den visar båda skärningarna direkt men förutsätter att ingen av dem är 0. För att få $k$ och $m$ formen isolerar du $y$. Från $\frac{x}{6} + \frac{y}{9} = 1$ följer efter multiplikation med 18 att $3x + 2y = 18$, alltså $y = -(\frac{3}{2})x + 9$.

Kontrollera genom att sätta $y = 0$ och lösa $x$ axelskärningen samt sätta $x = 0$ för $y$ axelskärningen. Metoden är särskilt effektiv när en text ger var en linjär modell når 0 tillsammans med sitt startvärde.

Skriv punkterna lodrätt, bestäm lutningens tecken och räkna $k$. Välj därefter den punkt som ger enklast produkt $kx$ och lös $m$. Skriv den färdiga ekvationen och kontrollera den andra punkten. Denna ordning är ofta snabbare än att direkt skapa och lösa ett ekvationssystem med två okända.

Om svarsalternativen ges kan du använda dem som en andra väg. Sätt in en punkt och stryk alla ekvationer som inte passar. Testa sedan den andra punkten. Men om flera alternativ är konstruerade för att passa en av punkterna behöver båda kontrolleras. Vid bråk bör du hålla exakta värden och multiplicera bort nämnare i stället för att avrunda.