Andragradsfunktioner och parabler

En andragradsfunktion kan skrivas $f(x) = ax^{2} + bx + c$ där $a \ne 0$. Om $a$ vore 0 skulle $x^{2}$ termen försvinna och funktionen bli linjär eller konstant. Grafen är en parabel som är symmetrisk kring en lodrät linje. Koefficienterna $a, b$ och $c$ påverkar grafen på olika sätt, men de ska tolkas tillsammans.

Talet $c$ är lättast att se: $f(0) = c$, så grafen skär $y$ axeln i $(0, c)$. Talet $a$ bestämmer om parabeln öppnar uppåt eller nedåt och hur smal den är jämfört med $y = x^{2}$. Talet $b$ påverkar parabelns vågräta läge genom symmetrilinjen $x = \frac{-b}{2a}$.

Om $a > 0$ öppnar parabeln uppåt och extrempunkten är ett minimum. Om $a < 0$ öppnar den nedåt och extrempunkten är ett maximum. Ett större $\lvert a \rvert$ gör grafen smalare, medan ett värde nära 0 gör den bredare. Detta gäller när samma axelskala används. Grafens visuella bredd i olika diagram kan annars vara missvisande.

Tecknet ger snabba slutsatser. En nedåtöppnad parabel kan ha ett största värde men saknar ett minsta värde om definitionsmängden är alla reella tal. En uppåtöppnad har ett minsta men inget största. Om sammanhanget begränsar $x$ till ett slutet intervall kan både största och minsta värde finnas vid extrempunkten eller en ändpunkt.

Symmetrilinjen för $f(x) = ax^{2} + bx + c$ är $x = \frac{-b}{2a}$. Sätter du in detta $x$ värde i funktionen får du extrempunktens $y$ koordinat. För $f(x) = x^{2} - 4x + 3$ är symmetrilinjen $x = \frac{-(-4)}{2 \cdot 1} = 2$. $f(2) = 4 - 8 + 3 = -1$, så minimipunkten är $(2, -1)$.

Symmetrin betyder att lika stora vågräta avstånd från linjen ger samma funktionsvärde. Eftersom symmetrilinjen är $x = 2$ gäller exempelvis $f(1) = f(3)$ och $f(0) = f(4)$. Detta kan halvera arbetet i en värdetabell och ger en kontroll av beräkningar.

Nollställena löser $ax^{2} + bx + c = 0$. En parabel kan ha två, ett eller inga reella nollställen. Två skärningar ligger symmetriskt kring symmetrilinjen. Ett enda nollställe innebär att extrempunkten tangerar $x$ axeln. Inga reella nollställen innebär att hela parabeln ligger över eller under axeln, beroende på öppningsriktning.

När uttrycket kan faktoriseras är nollproduktsmetoden snabb. $x^{2} - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$, så nollställena är 2 och 3. Mittpunkten mellan dem är 2,5, vilket ska vara symmetrilinjens $x$ värde. För svårare ekvationer kan kvadratkomplettering eller en andragradsformel behövas, men kontroll genom insättning gäller alltid.

Grundformen $ax^{2} + bx + c$ visar $y$ axelskärningen $c$ direkt. Faktorformen $a(x - r_{1})(x - r_{2})$ visar nollställena $r_{1}$ och $r_{2}$. Toppformen $a(x - p)^{2} + q$ visar extrempunkten $(p, q)$. Samma funktion kan skrivas i alla tre former när reella nollställen finns, men varje form gör en viss fråga enklare.

För $f(x) = (x - 1)(x - 3)$ syns nollställena 1 och 3. Utveckling ger $x^{2} - 4x + 3$. Kvadratkomplettering ger $(x - 2)^{2} - 1$, så extrempunkten är $(2, -1)$. Att känna igen övergångarna är mer värdefullt än att alltid utveckla uttrycket. Välj form efter vad som efterfrågas.

Om nollställena $r_{1}$ och $r_{2}$ är kända kan funktionen skrivas $f(x) = a(x - r_{1})(x - r_{2})$. En ytterligare punkt bestämmer $a$. Om nollställena är 1 och 5 samt punkten $(0, 10)$ används får du $10 = a(-1)(-5) = 5a$, så $a = 2$. Funktionen är $2(x - 1)(x - 5)$.

Om extrempunkten och en punkt är kända använder du toppformen. Med extrempunkt $(3, -4)$ skrivs $f(x) = a(x - 3)^{2} - 4$. En punkt avgör $a$. Var noga med att en grafisk punkt måste läsas exakt om du ska få en exakt funktion. Två nollställen ensamma bestämmer formen men inte den lodräta skalan.

Andragradsfunktioner kan modellera exempelvis area som beror på en sidlängd eller höjd under en idealiserad rörelse. Då begränsas definitionsmängden av verkligheten. Ett negativt tidsvärde eller en negativ sidlängd kan vara en algebraisk lösning men sakna mening. Extrempunkten kan motsvara största area eller högsta höjd beroende på modellen.

Kontrollera enheter. Om $x$ mäts i meter och $f(x)$ är area mäts utvärdet i kvadratmeter. Nollställen kan markera gränser där arean blir 0, men bara de som ligger i det tillåtna intervallet ska användas. En matematisk graf fortsätter obegränsat, medan modellen ofta bara gäller på en bestämd del.

För ekvationen $ax^{2} + bx + c = 0$ är diskriminanten $D = b^{2} - 4ac$. Om $D > 0$ finns två olika reella lösningar, om $D = 0$ finns en dubbel lösning och om $D < 0$ finns inga reella lösningar. Detta stämmer med grafen: två skärningar, en tangentpunkt eller ingen skärning med $x$ axeln. Diskriminanten kan därför besvara en fråga om antal nollställen utan att hela ekvationen behöver lösas.

Lösningarna när $D \ge 0$ är $x =\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$. Parenteserna kring hela täljaren och hela nämnaren är nödvändiga. Om $D = 0$ sammanfaller lösningarna vid $x = \frac{-b}{2a}$, vilket också är symmetrilinjens $x$ värde. Diskriminanten påverkas av alla tre koefficienter, så ett negativt $c$ betyder inte automatiskt ett visst antal nollställen utan att $a$ och $b$ beaktas.

Kvadratkomplettering skriver om grundformen till toppformen $a(x - p)^{2} + q$. För $x^{2} - 6x + 5$ tar du halva koefficienten framför $x$, alltså 3, och använder $(x - 3)^{2} = x^{2} - 6x + 9$. Därför är $x^{2} - 6x + 5 = (x - 3)^{2} - 4$. Extrempunkten syns direkt som $(3, -4)$.

När $a$ inte är 1 bryter du först ut $a$ ur $x$ termerna. Funktionen $2x^{2} + 8x + 1$ blir $2(x^{2} + 4x) + 1 = 2((x + 2)^{2} - 4) + 1 = 2(x + 2)^{2} - 7$. Minimipunkten är $(-2, -7)$. Utveckla tillbaka som kontroll: $2(x^{2} + 4x + 4) - 7 = 2x^{2} + 8x + 1$.

Toppformen hjälper även med värdemängden. Eftersom en kvadrat är minst 0 är $2(x + 2)^{2} - 7$ minst $-7$. Om $a$ vore negativ skulle extremvärdet i stället vara ett maximum. Resonemanget kräver ingen grafisk uppskattning.

Börja med $a$ tecknet och $c$ värdet. Då vet du öppningsriktning och $y$ axelskärning. Leta efter faktorform eller tydliga nollställen. Symmetrilinjen ligger mitt mellan två nollställen eller vid $\frac{-b}{2a}$. Använd symmetri före långa beräkningar. Om frågan bara gäller antal nollställen kan grafens läge mot $x$ axeln räcka.

Håll isär extrempunktens koordinater. $x$ värdet anger när eller var extremvärdet uppstår, $y$ värdet är själva största eller minsta värdet. Testa svarsalternativ med enkla invärden som $x = 0$ eller ett nollställe. Kontrollera slutligen definitionsmängden så att en algebraisk lösning verkligen får användas i modellen.