Exponentialfunktioner och förändringsfaktor

Grundformen är $f(x) = C \cdot a^{x}$, där $C$ är $f(0)$ eftersom $a^{0} = 1$. Talet $a$ måste vara positivt i den vanliga reella modellen och $a \ne 1$ om funktionen ska förändras. När $x$ ökar med 1 multipliceras funktionsvärdet med $a$. Därför är kvoten $\frac{f(x + 1)}{f(x)}$ konstant och lika med $a$.

Om $f(x) = 200 \cdot 1{,}05^{x}$ börjar värdet på 200 och multipliceras med 1,05 varje period. Efter en period är det 210 och efter två 220,5. Den absoluta ökningen är först 10 och sedan 10,5, alltså inte konstant. Det är faktorn, inte skillnaden, som är konstant.

En ökning med $p$ procent ger faktorn $1 + \frac{p}{100}$. En ökning med 8 procent ger 1,08. En minskning med $p$ procent ger $1 - \frac{p}{100}$. En minskning med 8 procent ger 0,92. Procenttalet och faktorn är inte samma sak. Faktorn 1,08 innebär 108 procent av föregående värde, alltså en ökning med 8 procent.

Vid flera perioder upphöjs faktorn till antalet perioder. Tre ökningar med 8 procent ger faktorn $1{,}08^{3}$, inte $1 + 0{,}24$ som en exakt regel. Skillnaden uppstår eftersom varje ny procent beräknas på det senaste värdet. Vid små förändringar och få perioder kan additionen ligga nära, men den är inte den korrekta modellen.

När $x$ stegar lika mycket dividerar du ett $y$ värde med det föregående. Tabellen 40, 60, 90, 135 har kvoten 1,5 varje gång och följer därför en exponentiell modell med faktor 1,5 per steg. Differenserna 20, 30 och 45 är inte konstanta. En linjär modell skulle i stället ha konstant differens.

Om $x$ steget är större än 1 motsvarar kvoten flera perioder. Om värdet fyrdubblas när $x$ ökar med 2 gäller $a^{2} = 4$, så en positiv periodfaktor är $a = 2$. Läs alltid $x$ kolumnen innan du antar att varje tabellrad är en period. Vid minskning ligger kvoten mellan 0 och 1.

Om $a > 1$ är funktionen växande när $C$ är positiv. Om $0 < a < 1$ är den avtagande. Faktorn kan inte tolkas genom att bara jämföra dess decimaldel. $a = 0{,}7$ betyder att 70 procent återstår varje period, alltså en minskning med 30 procent. $a = 1{,}7$ betyder en ökning med 70 procent.

För positivt $C$ ligger funktionsvärdena över $x$ axeln. Grafen närmar sig 0 vid avtagande utveckling men når inte 0 för något ändligt $x$ i den rena modellen. I verkliga sammanhang kan avrundning, trösklar eller en begränsad definitionsmängd göra att modellen slutar användas tidigare.

Om ett värde efter en period är 126 och faktorn är 1,05 får du föregående värde genom $\frac{126}{1{,}05} = 120$. Att minska det nya värdet med 5 procent ger 119,7 och återställer inte exakt ursprunget. Ökning och motsvarande procentuell minskning använder olika basvärden och tar därför inte ut varandra.

För flera perioder dividerar du med $a^{n}$. Om $V(3) = 343$ och faktorn är 0,7 är startvärdet $V(0) = \frac{343}{(0{,}7)^{3}} = \frac{343}{0{,}343} = 1000$. Kontrollera genom att multiplicera framåt igen. Den bakåtriktade faktorn är $\frac{1}{a}$ per period.

En linjär funktion har konstant differens för lika $x$ steg. En exponentialfunktion har konstant kvot. Startvärdet 100 som ökar med 20 varje år ger 100, 120, 140 och 160. Startvärdet 100 som ökar med 20 procent ger 100, 120, 144 och 172,8. De två modellerna sammanfaller efter ett steg men skiljer sig därefter.

Textens ord avgör: med 30 enheter per månad är linjärt, medan med 30 procent per månad är exponentiellt. En graf kan också ge ledtrådar. En exponentiell tillväxtkurva böjer uppåt och förändringen blir större, medan en linjär graf är rak. Men använd tabellens differenser eller kvoter när exakta värden finns.

Om $f(x) = C \cdot a^{x}$ och du känner $f(r)$ och $f(s)$ kan du dividera: $\frac{f(s)}{f(r)} = a^{s - r}$. Om $f(2) = 50$ och $f(5) = 400$ blir $\frac{400}{50} = 8 = a^{3}$, så $a = 2$. Därefter kan $C$ hittas från $50 = C \cdot 2^{2}$, vilket ger $C = 12{,}5$.

När potensen inte har en enkel heltalsrot kan ett exakt rotuttryck eller digitalt hjälpmedel behövas, men på högskoleprovet är talen ofta valda så att faktorjämförelse eller svarsalternativ räcker. Kontrollera alltid hur många perioder som skiljer observationerna. Den totala faktorn över intervallet är inte automatiskt faktorn per period.

En faktor per månad kan inte jämföras direkt med en faktor per år. Tolkningsperioden är en del av modellen. Om månadsfaktorn är 1,02 blir årsfaktorn $1{,}02^{12}$, inte 1,24. Om en tvåårsfaktor är 1,21 och samma positiva faktor antas varje år, är årsfaktorn $\sqrt{1},21 = 1{,}1$, alltså 10 procents ökning per år.

Samma tanke används vid halvering och fördubbling. En funktion som fördubblas var tredje period har total faktor 2 över tre steg och periodfaktor $2^(\frac{1}{3})$. På högskoleprovet behöver du ofta inte decimalberäkna roten. Det kan räcka att jämföra totala faktorer över ett gemensamt antal perioder. För att jämföra en månadsfaktor och en kvartalsfaktor kan du till exempel höja månadsfaktorn till tre.

När perioden byts ska även exponenten bytas konsekvent. Modellen $500 \cdot 1{,}04^{t}$ med $t$ i år kan inte användas med $t$ i månader utan att faktorn omdefinieras. Skriv därför alltid vad ett steg betyder bredvid variabeln.

Om ett värde först ökar med 20 procent och sedan minskar med 20 procent blir totalfaktorn $1{,}20 \cdot 0{,}80 = 0{,}96$. Slutvärdet är 96 procent av startvärdet, alltså 4 procent lägre. Förändringarna tar inte ut varandra eftersom minskningen räknas på det nya större värdet.

Flera förändringar kombineras genom att faktorerna multipliceras. Ordningen påverkar inte produkten när bara multiplikation ingår, men varje enskild förändrings betydelse ska fortfarande uttryckas med rätt bas. För att återställa en ökning med faktor 1,25 krävs faktorn $\frac{1}{1{,}25} = 0{,}8$, alltså en minskning med 20 procent, inte 25 procent. Kontrollera nettoförändringen genom totalfaktor minus 1.

En totalfaktor på 0,96 betyder en minskning med 4 procent, även om de enskilda stegen var mycket större. Redovisa därför både stegfaktorer och slutlig produkt när flera förändringar ingår. Då syns exakt var nettoresultatet kommer ifrån.

Markera startvärde, procent eller faktor och antal perioder. Översätt procenten till faktor innan du räknar. Skriv modellen $C \cdot a^{n}$ och kontrollera nollperioden: när $n = 0$ ska resultatet vara $C$. Vid tabeller jämför du kvoter mellan rader med lika $x$ steg. Vid baklängesfrågor dividerar du med faktorn i stället för att använda motsatt procent.

Uppskatta storleksordningen. En faktor under 1 ska minska ett positivt värde. En faktor över 1 ska öka det. Behåll potensen samlad tills sista steget och avrunda först när uppgiften kräver det. Om svarsalternativen ligger långt ifrån varandra kan du jämföra faktorer och potenser utan full decimalberäkning.