Bestäm $k$ och $m$ grafiskt

Innan du söker $k$ eller $m$ måste du veta vad ett rutsteg betyder. Läs två märkta värden på varje axel och dela avståndet mellan dem med antalet rutor. $x$ axeln och $y$ axeln kan ha olika gradering. En linje som ser ut att stiga ett kvadratiskt rutsteg per rutsteg har inte nödvändigtvis $k = 1$ om en ruta motsvarar 2 i $x$ led och 10 i $y$ led.

Kontrollera också om origo visas. $m$ är $y$ värdet där $x = 0$, så du måste hitta själva $y$ axeln och inte bara grafens vänstra kant. I ett beskuret diagram kan $y$ axeln ligga utanför bilden. Då går $m$ inte att läsa direkt, men det kan beräknas från $k$ och en punkt efter att lutningen har bestämts.

$Y$ axeln består av alla punkter med $x = 0$. Därför är linjens $y$ koordinat vid skärningen exakt $m$. Om skärningen är $(0, -4)$ är $m = -4$. Skärningen behöver inte ligga vid ett markerat heltal, men använd bara ett exakt bråkvärde om rutnätet verkligen stödjer det. En tjock eller schematisk linje kan motivera en ungefärlig avläsning.

Förväxla inte $y$ axelskärningen med ett nollställe. Ett nollställe ligger på $x$ axeln och har $y = 0$. Om linjen skär $x$ axeln vid 6 betyder det att $0 = 6k + m$. Det kan hjälpa dig att beräkna $m$, men talet 6 är inte $m$. Skriv koordinaterna på skärningarna för att hålla rollerna isär.

För $k$ väljer du två tydliga punkter där linjen passerar rutnätskors eller markerade koordinater. Punkterna bör ligga en bit ifrån varandra, eftersom ett litet avläsningsfel då påverkar kvoten mindre. Du behöver inte använda $y$ axelskärningen. Vilka två punkter som helst på samma räta linje ger samma $k$.

Skriv punkterna som $(x_{1}, y_{1})$ och $(x_{2}, y_{2})$. Beräkna $k =\frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$. Bedöm tecknet från grafens riktning innan du räknar. En linje som faller åt höger ska ge negativt $k$. Om beräkningen ger motsatt tecken har du troligen blandat punktordning i täljare och nämnare.

Mellan två grafpunkter kan du rita en rätvinklig triangel med en vågrät sida $\Delta x$ och en lodrät sida $\Delta y$. Kvoten $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ är $k$. För en linje som går 4 enheter åt höger och 6 upp är $k =\frac{6}{4} =\frac{3}{2}$. Om linjen går 4 åt höger och 6 ned är $\Delta y = -6$ och $k = \frac{-3}{2}$.

Triangelns storlek spelar ingen roll. En större triangel längs samma linje är likformig och ger samma kvot. Detta är ett praktiskt bevis på att lutningen är konstant. Rita helst triangeln mellan punkter där både vågrät och lodrät förändring kan räknas exakt från skalan.

Om $y$ axeln inte syns bestämmer du först $k$ från två punkter. Välj sedan en punkt $(x, y)$ och sätt in i $y = kx + m$. Lös ekvationen för $m$: $m = y - kx$. Om $k = 2$ och punkten $(5, 13)$ ligger på linjen blir $m = 13 - 2 \cdot 5 = 3$. Den fullständiga ekvationen är $y = 2x + 3$.

Kontrollera med den andra grafpunkten. Om även $(8, 19)$ används får du $2 \cdot 8 + 3 = 19$. En kontroll mot två punkter verifierar både $k$ och $m$. Förläng inte linjen för hand hela vägen till $y$ axeln när en algebraisk beräkning ger ett exaktare resultat.

En ritad graf kan vara exakt konstruerad eller bara illustrativ. Markerade punkter, rutnätskors och utskrivna koordinater ger säkra värden. Om linjen passerar mellan finfördelade skalstreck utan markering bör du inte hävda fler decimaler än bilden stöder. Svarsalternativen kan visa om en enkel exakt kvot är avsedd.

När grafen kommer från mätdata kan punkterna ligga ungefär längs en trendlinje. Då beskriver $k$ en modellerad förändring, inte varje enskild skillnad. Den här lektionens metod gäller en given rät linje. För ett punktmoln behöver det uttryckligen framgå att en trendlinje ska tolkas eller bestämmas.

En färdig ekvation ska stämma med riktning, $y$ axelskärning och minst en ytterligare punkt. Tecknet på $k$ ska motsvara om linjen stiger eller faller. $m$ ska motsvara skärningen vid $x = 0$. Insättning av en vald grafpunkt ska ge dess $y$ värde. Om någon kontroll misslyckas är ekvationen fel även om de andra två verkar rimliga.

Du kan dessutom använda ett nollställe. För $y = 2x - 6$ blir $y = 0$ när $x = 3$. Grafen ska alltså skära $x$ axeln vid $(3, 0)$. En sådan extra kontroll är särskilt användbar när både $k$ och $m$ är negativa och grafens riktning lätt kan misstolkas.

Om linjen skär $x$ axeln i en exakt punkt kan nollstället användas som en av de två punkterna för $k$. Tillsammans med en annan tydlig punkt ger det en lutning, och därefter kan $m$ beräknas. Anta att grafen visar nollstället $(6, 0)$ och punkten $(2, 8)$. Då är $k =\frac{0 - 8}{6 - 2} = -2$. Sätt in $(6, 0)$: $0 = -2 \cdot 6 + m$, så $m = 12$. Ekvationen är $y = -2x + 12$.

Denna väg är bättre än att gissa en skärning utanför eller mellan otydliga skalstreck. Den ger också en oberoende kontroll: nollstället som följer av den färdiga ekvationen ska vara $x = \frac{-m}{k}$ när $k \ne 0$. För $y = -2x + 12$ blir $x = 6$. Använd alltså grafens mest exakta signaler, inte nödvändigtvis dem som råkar ligga närmast origo.

Om grafen går genom origo är $m = 0$ och ekvationen $y = kx$. Då är kvoten $\frac{y}{x}$ lika med $k$ för varje punkt med $x \ne 0$. Punkten $(4, 10)$ ger $k =\frac{10}{4} =\frac{5}{2}$, så linjen är $y = (\frac{5}{2})x$. Du behöver inte först beräkna en separat skärning.

Denna form beskriver direkt proportionalitet: när $x$ fördubblas fördubblas $y$, och kvoten mellan storheterna är konstant. En linje som inte går genom origo kan vara linjär men är inte proportionell. Kontrollera därför origo exakt. Att grafen passerar nära origo på grund av grov skala räcker inte för att sätta $m = 0$.

Följ ordningen skala, $m$, två punkter, $k$, kontroll. Om $y$ axeln saknas blir ordningen skala, två punkter, $k, m$ genom insättning. Skriv punkternas koordinater innan du gör differenser. Bestäm tecknet från linjens riktning. Förenkla lutningen som bråk och behåll den exakt så länge som möjligt.

Vid svarsalternativ kan du eliminera snabbt. Fel tecken på $k$ stryks från riktningen. Fel $m$ stryks från $y$ axelskärningen. Om två alternativ återstår sätter du in en tydlig grafpunkt. Denna trestegskontroll är ofta snabbare än att genomföra hela härledningen flera gånger.