Räta linjens ekvation, förstå $y = kx + m$

En funktion är linjär i den här formen när samma ökning i $x$ alltid ger samma förändring i $y$. I $y = kx + m$ är $k$ den konstanta förändringen per $x$ enhet och $m$ värdet vid $x = 0$. Om $y = 3x + 5$ ökar $y$ med 3 varje gång $x$ ökar med 1. Värdena 5, 8, 11 och 14 för $x = 0, 1, 2$ och 3 ligger därför på en rät linje. Den konstanta differensen är det centrala kännetecknet.

Ordet linjär används ibland bredare i andra matematiska sammanhang, men på den här nivån avses normalt en funktion vars graf är en rät linje och som kan skrivas $y = kx + m$. En lodrät linje kan inte skrivas så som en funktion av $x$, eftersom ett och samma $x$ då skulle ha flera $y$ värden. En vågrät linje passar däremot med $k = 0$.

Sätt $x = 0$ i $y = kx + m$. Produkten $k \cdot 0$ blir 0, så $y = m$. Därför passerar grafen alltid punkten $(0, m)$. Om $m = 4$ skär linjen $y$ axeln vid 4. Om $m = -3$ ligger skärningen under origo. Om $m = 0$ går linjen genom origo. Detta ger en snabb väg från ekvation till graf och från graf till ekvation.

I en modell är $m$ ofta ett startvärde eller en fast del. En taxikostnad $C(x) = 55 + 18x$ har startavgiften 55 kronor när sträckan $x$ är 0. Men $m$ behöver inte alltid vara ett fysiskt möjligt observerat värde. Om modellen bara gäller för $x$ mellan 10 och 20 ligger $x = 0$ utanför definitionsmängden. $m$ är ändå den algebraiska skärningen för den förlängda linjen, men ska inte automatiskt tolkas som en verklig observation.

Om $k$ är positiv lutar linjen uppåt när du läser från vänster till höger. Om $k$ är negativ lutar den nedåt. Om $k = 0$ är linjen vågrät. Storleken $\lvert k \rvert$ anger förändringens storlek per $x$ enhet. $k = 5$ betyder att $y$ ökar med 5 när $x$ ökar med 1. $k = -0{,}5$ betyder att $y$ minskar med 0,5 per steg. Ett bråk som $k =\frac{2}{3}$ kan läsas som att $y$ ökar med 2 när $x$ ökar med 3.

$k$ har enhet som $y$ enhet delad med $x$ enhet. Om $y$ är kronor och $x$ är kilogram blir $k$ kronor per kilogram. Enheten hjälper dig att avgöra vilket tal som är lutning i ett textproblem. Jämför inte enbart grafisk branthet mellan diagram som har olika axelskalor. Samma $k$ kan se olika brant ut om rutnätet sträcks.

För att rita $y = kx + m$ markerar du först $(0, m)$. Därefter använder du $k$ som ett förhållande mellan lodrät och vågrät förändring. Om $k =\frac{3}{2}$ går du 2 steg åt höger och 3 steg upp. Om $k = \frac{-4}{3}$ går du 3 steg åt höger och 4 steg ned. Markera en andra punkt och dra linjen genom punkterna. Två olika punkter bestämmer en unik rät linje.

Du kan också skapa en värdetabell, men lutningssteget är ofta snabbare. Kontrollera en tredje punkt med ekvationen om grafen ska användas vidare. För ett negativt $k$ kan du lika gärna gå åt vänster och upp, eftersom både vågrät och lodrät förändring då byter tecken och kvoten förblir densamma. Undvik att uppskatta lutningen med ögat när exakta rutnätssteg finns.

När du får en graf börjar du vid $y$ axeln. Skärningsvärdet är $m$. Välj sedan två tydliga punkter på linjen, helst rutnätskors, och beräkna $k$ som förändring i $y$ delad med förändring i $x$. Om linjen passerar $(0, 2)$ och $(4, 10)$ är $m = 2$ och $k =\frac{10 - 2}{4 - 0} = 2$. Ekvationen är $y = 2x + 2$.

De två punkterna kan väljas var som helst på linjen. Samma $k$ ska uppstå så länge ordningen är densamma i täljare och nämnare. Kontrollera genom att sätta in båda punkterna i ekvationen. För punkten $(4, 10)$ blir högerledet $2 \cdot 4 + 2 = 10$. En kontroll med en enda punkt räcker inte alltid för att avslöja fel $k$ om $m$ också råkat anpassas, så använd båda.

En fast avgift, ett begynnelseantal eller ett värde vid start motsvarar ofta $m$. En förändring per enhet motsvarar $k$. Formuleringen ett lager har 1 200 varor och säljer 45 per dag ger $L(t) = 1200 - 45t$. Startvärdet är 1200 och förändringen är negativ eftersom lagret minskar. Definitionsmängden måste begränsas så att antalet inte blir negativt.

Ibland ges två observationer i stället för startvärdet. Då räknar du först förändringen per enhet och använder en punkt för att hitta $m$. Var noga med att en konstant procentuell förändring inte är linjär. Om ett värde minskar med 10 procent varje period minskar det inte med samma antal, utan multipliceras med 0,90. En rät linje passar när den absoluta skillnaden per lika stort steg är konstant.

Två olika linjer med samma $k$ är parallella och skär inte varandra. Om både $k$ och $m$ är samma har ekvationerna samma graf och därmed oändligt många gemensamma punkter. Om $k$ värdena skiljer sig möts de i exakt en punkt. Skärningens $x$ koordinat hittas genom att sätta högerleden lika, och $y$ koordinaten fås genom insättning.

Detta ger en snabb rimlighetskontroll för ekvationssystem. Linjerna $y = 2x + 1$ och $y = 2x - 5$ kan aldrig ha samma $y$ för samma $x$, eftersom avståndet mellan dem alltid är 6. Linjerna $y = 2x + 1$ och $y = -x + 7$ har olika lutning och måste mötas. Sätt $2x + 1 = -x + 7$ för att hitta punkten.

Skillnaden mellan två linjära funktioner är själv linjär: $(k_{1} - k_{2})x + (m_{1} - m_{2})$. Där skillnaden är 0 finns skärningen. Om $k$ värdena är lika blir skillnaden konstant, vilket direkt visar antingen parallella skilda linjer eller samma linje.

Identifiera vad uppgiften ger: ekvation, graf, två punkter eller en textmodell. Från en ekvation läser du $m$ direkt och tolkar $k$. Från en graf läser du $m$ vid $y$ axeln och räknar $k$ mellan exakta punkter. Från två punkter räknar du $k$ först och löser sedan $m$. Från text letar du efter startvärde och förändring per enhet. Den fasta ordningen minskar risken att blanda ihop $k$ och $m$.

Använd tecken och enhet som kontroll. En linje som faller ska ha negativt $k$. En kostnad som ökar 12 kronor per vara ska ha $k = 12$ kronor per vara. Sätt in en känd punkt i ditt färdiga uttryck. Om uppgiften bara frågar efter ett värde kan direkt insättning vara snabbare än att rita grafen. Rita bara det som hjälper beslutet.