Räkna med funktionsuttryck och värdetabeller

När $f(x) = 2x^{2} - 3x + 1$ och du ska bestämma $f(-2)$ ersätter du varje $x$ med parentesen $(-2)$. Då blir $f(-2) = 2(-2)^{2} - 3(-2) + 1$. Potensen beräknas före multiplikation, så $(-2)^{2} = 4$ och resultatet blir $8 + 6 + 1 = 15$. Parentesen är avgörande. Uttrycket $-2^{2}$ betyder enligt prioriteringsreglerna $-(2^{2}) = -4$, medan $(-2)^{2} = 4$.

Samma princip gäller när invärdet är ett uttryck. $f(a + 1)$ betyder att varje $x$ i regeln ersätts med $(a + 1)$. Om $f(x) = 3x - 5$ får du $f(a + 1) = 3(a + 1) - 5 = 3a - 2$. Gör ersättningen i ett separat steg innan du förenklar. Då syns det om regeln innehåller flera förekomster av $x$ eller om ett minustecken ska påverka hela invärdet.

En värdetabell samlar valda invärden och deras funktionsvärden. Skriv $x$ värdena i stigande ordning och beräkna en rad i taget. För $f(x) = x^{2} - 1$ ger $x$ värdena $-2, -1, 0, 1$ och 2 utvärdena $3, 0, -1, 0$ och 3. Tabellen visar direkt symmetrin: motsatta invärden ger samma utvärde. Den ger också punkter som kan placeras i ett koordinatsystem.

En tabell bevisar inte hur funktionen beter sig mellan de valda punkterna om ingen regel är känd. Fem tabellvärden kan passa flera olika funktioner. När uttrycket finns kan du däremot beräkna valfritt tillåtet värde. Kontrollera tabellen genom att leta efter mönster som stämmer med uttrycket. En linjär funktion ska ha konstant differens i $y$ när $x$ stegar lika mycket. En kvadratfunktion har inte konstant första differens, och en exponentialfunktion kännetecknas i stället av konstant kvot när stegen är lika.

Om $f(x) = 4x - 7$ och frågan är när $f(x) = 21$ sätter du uttrycket lika med $21$: $4x - 7 = 21$. Lägg till 7 på båda sidor och dividera med 4, vilket ger $x = 7$. Kontrollera genom insättning: $f(7) = 28 - 7 = 21$. Denna typ av fråga går från utvärde tillbaka till invärde och ska inte blandas ihop med att beräkna $f(21)$.

För icke linjära funktioner kan det finnas flera lösningar. Om $h(x) = x^{2}$ och $h(x) = 16$ får du $x^{2} = 16$, vilket har lösningarna $x = 4$ och $x = -4$. Kontrollera definitionsmängden och sammanhanget innan du behåller båda. Om $x$ betyder en längd kan det negativa värdet falla bort. Om $x$ är en koordinat kan båda vara giltiga.

För att hitta när $f$ och $g$ har samma värde löser du $f(x) = g(x)$. Om $f(x) = 5x + 2$ och $g(x) = 2x + 20$ blir ekvationen $5x + 2 = 2x + 20$. Då är $3x = 18$ och $x = 6$. Det gemensamma värdet fås genom insättning: $f(6) = 32$ och $g(6) = 32$. Grafiskt är detta skärningspunkten $(6, 32)$.

I en jämförelsefråga kan du också behöva veta när $f$ är större än $g$. Då löser du en olikhet. Med samma funktioner blir $5x + 2 > 2x + 20$, alltså $3x > 18$ och $x > 6$. Om en negativ faktor används vid division måste olikhetstecknet vändas. Testa gärna ett enkelt värde på vardera sidan om gränsen för att bekräfta riktningen.

I familjen $f(x) = ax + b$ är $x$ funktionens variabel medan $a$ och $b$ kan vara parametrar, alltså fasta tal som bestämmer vilken funktion i familjen vi menar. Om $a = 3$ och $b = -2$ får vi $f(x) = 3x - 2$. Frågor kan ge ett känt funktionsvärde och be dig bestämma en parameter. Om $f(4) = 10$ blir $4a + b = 10$. En enda sådan uppgift räcker normalt inte för att bestämma både $a$ och $b$; du behöver ytterligare oberoende information.

Läs noga vilken bokstav som får variera. Uttrycket $f(a)$ kan använda $a$ som invärde, även om $a$ i ett annat sammanhang brukar vara en parameter. Symbolens roll bestäms lokalt av definitionen. På provet är det säkrare att skriva en kort översättning än att lita på vana. Om det står $f(x) = kx + 5$ och $f(2) = 11$ är $k$ det okända fasta talet, medan $x$ ersätts med 2. Då får du $2k + 5 = 11$ och $k = 3$.

Börja med att definiera variabeln och dess enhet. Dela sedan modellen i startvärde och förändring. En tank innehåller 75 liter och töms med 6 liter per minut. Om $t$ är minuter efter start blir volymen $V(t) = 75 - 6t$. Minustecknet kommer från att volymen minskar, inte från ordet per. Modellen är meningsfull från $t = 0$ tills volymen når 0, alltså högst 12,5 minuter i den idealiserade beskrivningen.

När förändringen är procentuell används en faktor, inte en konstant addition. Ett värde som ökar med 5 procent per period beskrivs med startvärde multiplicerat med 1,05 upphöjt till antal perioder. Blanda inte ihop 5 procent av ursprungsvärdet varje gång med 5 procent av det aktuella värdet. Texten avgör modelltyp. Kontrollera modellen genom att räkna ett steg och jämföra med orden.

Om $g$ först omvandlar ett invärde och $f$ sedan använder resultatet skriver man $f(g(x))$. Beräkna inifrån och ut. Låt $g(x) = x + 3$ och $f(x) = 2x$. Då är $f(g(4)) = f(7) = 14$. Algebraiskt är $f(g(x)) = 2(x + 3) = 2x + 6$. Ordningen spelar roll: $g(f(x)) = 2x + 3$, vilket är en annan funktion.

Sammansättning förekommer ofta utan särskild notation. Ett pris kan först få ett påslag och sedan en rabatt, eller en temperatur kan först omvandlas och sedan jämföras med en gräns. Skriv varje steg som en egen regel och håll ordningen från texten. Procentförändringar som följer på varandra multipliceras som faktorer. De kan inte i allmänhet bara läggas ihop, särskilt inte när en ökning följs av en minskning.

Kontrollera definitionsmängderna i varje steg. Resultatet från den inre funktionen måste vara ett tillåtet invärde för den yttre. Om $f$ bara accepterar icke negativa invärden kan $f(g(x))$ sakna värde för vissa $x$ även när $g(x)$ själv går att beräkna.

Markera om uppgiften ber dig beräkna ett funktionsvärde, lösa för ett invärde, jämföra två funktioner eller bestämma en parameter. De fyra frågetyperna ser lika ut men startar olika. Vid insättning använder du parentes runt hela invärdet. Vid baklängesfrågor sätter du uttrycket lika med det givna utvärdet. Vid jämförelse sätter du två uttryck lika. Vid parameterfrågor sätter du in de kända koordinaterna och löser den återstående ekvationen.

Använd svarsalternativ strategiskt när algebra blir lång. Ett föreslaget $x$ värde kan sättas in i ursprungsuttrycket snabbare än en fullständig lösning, men kontrollera exakt vad alternativet påstår. Gör en tecken och storlekskontroll innan du går vidare. Om en positivt växande funktion får ett större invärde bör utvärdet inte plötsligt bli mindre. Avsluta med insättning i originalet, inte i en mellanrad som kan innehålla ditt fel.