Avståndsformeln mellan två punkter

För punkterna $A = (x_{1}, y_{1})$ och $B = (x_{2}, y_{2})$ är den vågräta förändringen $\Delta x = x_{2} - x_{1}$ och den lodräta $\Delta y = y_{2} - y_{1}$. Om du ritar en vågrät och en lodrät hjälplinje bildas en rätvinklig triangel. Den direkta sträckan $d$ är hypotenusa, så $d^{2} = (\Delta x)^{2} + (\Delta y)^{2}$.

Därför är $d = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}$. Kvadreringen gör att tecknet på skillnaderna inte påverkar längden. Avståndet från $A$ till $B$ är samma som från $B$ till $A$. Formeln gäller när båda axlarna använder samma längdskala eller när koordinaterna först omvandlas till jämförbara enheter.

När en koordinat är negativ ska den stå inom parentes i differensen. Från $x = -4$ till $x = 3$ är förändringen $3 - (-4) = 7$, inte $-1$. Den geometriska kontrollen är att sträckan över $y$ axeln består av 4 enheter till 0 och 3 vidare, totalt 7.

Du får välja punktordning fritt så länge den är konsekvent. Om du byter ordning blir både $\Delta x$ och $\Delta y$ motsatta, men kvadraterna förblir samma. För tydlighet är det ändå bra att märka punkt 1 och punkt 2 och skriva varje differens på en egen rad.

Om punkterna har samma $y$ koordinat är sträckan vågrät och avståndet är $\lvert x_{2} - x_{1} \rvert$. Om de har samma $x$ koordinat är sträckan lodrät och avståndet är $\lvert y_{2} - y_{1} \rvert$. Formeln ger samma resultat eftersom den andra skillnaden blir 0, men absolutbeloppet är snabbare.

Om punkterna är identiska blir båda skillnaderna 0 och avståndet 0. Ett negativt avstånd kan aldrig uppstå. Om du får ett negativt svar har du glömt absolutbeloppet eller tagit bort kvadraten på ett felaktigt sätt.

Avstånd blir inte alltid heltal. Mellan $(0, 0)$ och $(2, 4)$ är $d = \sqrt{2^{2} + 4^{2}} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$. Detta exakta svar är ofta bättre än decimalen cirka 4,47. Om svarsalternativen använder rötter ska du behålla formen och jämföra genom kvadrering vid behov.

För att förenkla $\sqrt{n}$ letar du efter den största kvadrattalsfaktorn. $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$. Lägg inte ihop rottermer felaktigt: $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ är inte $a + b$. Summan måste beräknas under roten innan eventuell förenkling.

Mittpunkten mellan $A$ och $B$ fås genom medelvärdet av koordinaterna: $M = (\frac{x_{1} + x_{2}}{2},\frac{y_{1} + y_{2}}{2})$. Detta ska inte blandas ihop med avståndsformeln. Mittpunkten är en plats, medan avståndet är en längd. Mellan $(2, 1)$ och $(8, 9)$ är mittpunkten $(5, 5)$ och avståndet 10.

Avståndet från mittpunkten till vardera ändpunkten är hälften av hela avståndet. Den egenskapen kan användas som kontroll. Om du ska hitta centrum i en cirkel med en diameter mellan två givna punkter använder du mittpunkten, och radien är halva avståndet mellan ändpunkterna.

Om du bara ska avgöra vilken punkt som ligger närmast en given punkt behöver du inte ta kvadratroten. Rotfunktionen är växande för icke negativa tal, så det minsta $d^{2}$ ger också det minsta $d$. Från origo har punkten $(3, 4)$ kvadrerat avstånd 25 och $(1, 6)$ har 37. Den första är närmare.

Metoden sparar tid och behåller exakta heltal. Var noga med att jämföra mot samma referenspunkt. Om enheterna eller axelskalorna skiljer sig måste koordinaterna först uttryckas i samma längdenhet. En karta med olika skala i östlig och nordlig riktning kräver omvandling innan Pythagoras används.

Genom att beräkna avstånd mellan hörn kan du visa att två sidor är lika, att en triangel är likbent eller att en fyrhörnings diagonaler har viss längd. Använd gärna kvadrerade avstånd för jämförelser. Om $AB^{2} = AC^{2}$ följer $AB = AC$ eftersom längderna är icke negativa.

För att testa rätvinklighet mellan tre koordinatpunkter kan du beräkna de tre kvadrerade sidlängderna och kontrollera Pythagoras omvändning. Sortera så att den största ligger som möjlig hypotenusa. Detta undviker både rötter och avrundningar.

När en polygon anges med koordinater beräknar du varje sidlängd mellan intilliggande hörn och adderar dem för omkretsen. Rita en enkel skiss så att du inte råkar använda en diagonal som sida. Vågräta och lodräta sidor tas med absolut differens, medan sneda sidor kräver avståndsformeln.

Längderna kan också avslöja struktur. Tre lika sidavstånd ger en liksidig triangel. Två lika ger en likbent. I en fyrhörning kan lika motstående sidlängder vara en ledtråd, men längder ensamma bevisar inte alltid vilken fyrhörning det är. Kombinera vid behov med lutningar, diagonaler eller vinklar.

En punkt $(x, y)$ ligger på cirkeln med centrum $(a, b)$ och radie $r$ om avståndet till centrum är $r$. Kvadrerad form blir $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$. Detta är avståndsformeln utan den yttre roten. Punkten ligger innanför cirkeln om vänsterledet är mindre än $r^{2}$ och utanför om det är större.

För centrum $(2, -1)$ och radie 5 ligger punkten $(5, 3)$ på cirkeln eftersom $(5 - 2)^{2} + (3 - (-1))^{2} = 9 + 16 = 25$. Kvadrerad jämförelse är exakt och snabb. Den undviker dessutom att avrundning av en rot felaktigt flyttar en punkt från cirkeln till utanför eller innanför.

Om avståndet och tre av fyra koordinatvärden är kända kan avståndsformeln bli en ekvation. Punkten $P = (x, 4)$ ligger exempelvis 5 enheter från $Q = (1, 0)$ om $(x - 1)^{2} + 4^{2} = 25$. Då $(x - 1)^{2} = 9$ och $x - 1 = 3$ eller $-3$, vilket ger $x = 4$ eller $x = -2$.

De två lösningarna motsvarar punkter på varsin sida om den lodräta linjen $x = 1$. Att ta endast den positiva roten skulle missa en geometriskt giltig punkt. Kontrollera båda koordinaterna i den ursprungliga avståndsformeln och använd eventuella intervallvillkor för att avgöra om båda ska behållas.

Mängden av punkter som ligger lika långt från $A$ och $B$ är mittnormalen till sträckan AB. Den går genom mittpunkten och står vinkelrätt mot sträckan. Algebraiskt sätter du de kvadrerade avstånden lika. Rötterna behöver inte skrivas eftersom båda sidor är icke negativa.

För $A = (-2, 0)$ och $B = (4, 0)$ är mittpunkten $(1, 0)$ och mittnormalen den lodräta linjen $x = 1$. Varje punkt $(1, y)$ har samma kvadrerade avstånd $9 + y^{2}$ till båda ändpunkterna. Egenskapen används för att hitta centrum till en cirkel genom givna punkter och för att kontrollera symmetri i koordinatgeometri.

Rita en liten rätvinklig hjälptriangel eller skriv $\Delta x$ och $\Delta y$. Sätt negativa koordinater inom parentes. Kvadrera skillnaderna, addera och ta roten sist. Om frågan bara gäller jämförelse stannar du vid den kvadrerade summan. Om punkterna ligger vågrätt eller lodrätt använder du absolut differens direkt.

Kontrollera att avståndet är minst lika stort som varje enskild koordinatskillnad och högst summan av deras absoluta värden. Skriv längdenhet, inte kvadratenhet. Behåll exakta rötter om inte decimal efterfrågas.