Yttervinkelsatsen i trianglar

Välj ett hörn i en triangel och förläng en av sidorna genom hörnet. Vinkeln mellan förlängningen och den kvarvarande sidan är en yttervinkel. Den inre vinkeln vid samma hörn ligger intill och bildar tillsammans med yttervinkeln en rak vinkel på $180^{\circ}$.

De två övriga inre vinklarna kallas motstående inre vinklar i relation till yttervinkeln. Om de betecknas $\alpha$ och $\beta$ och yttervinkeln $\gamma$ gäller $\gamma = \alpha + \beta$. Den inre vinkeln bredvid $\gamma$ ska inte ingå i summan.

Låt triangelns inre vinklar vara $\alpha , \beta$ och $\delta$, där $\delta$ ligger bredvid yttervinkeln $\gamma$. Triangelns vinkelsumma ger $\alpha + \beta + \delta = 180^{\circ}$. Sidovinklarna ger $\delta + \gamma = 180^{\circ}$. Båda vänsterleden är alltså lika med $180^{\circ}$.

Subtrahera $\delta$ från båda relationerna. Då återstår $\alpha + \beta = \gamma$. Beviset visar också att yttervinkelsatsen inte är en fristående minnesregel utan ett effektivt sätt att kombinera triangelns vinkelsumma och en rak linje. Om du glömmer satsen kan du alltid återskapa den i två steg.

Yttervinkeln är dels summan av de två motstående inre vinklarna, dels supplement till den intilliggande inre vinkeln. Om yttervinkeln är $130^{\circ}$ är den intilliggande inre vinkeln $50^{\circ}$. Om en av de motstående är $72^{\circ}$ är den andra $130^{\circ} - 72^{\circ} = 58^{\circ}$.

Välj den relation som kräver minst arbete. Om den intilliggande vinkeln är känd subtraherar du från $180^{\circ}$. Om de två motstående är kända adderar du dem. Båda vägarna ska ge samma resultat och kan användas som kontroll när flera vinklar finns i figuren.

Om yttervinkeln är $5x + 10$ grader och de motstående vinklarna är $2x + 8$ grader samt $x + 22$ grader skriver du $5x + 10 = 2x + 8 + x + 22$. Då är $5x + 10 = 3x + 30$, vilket ger $2x = 20$ och $x = 10$.

Sluta inte vid $x$. Beräkna de faktiska vinklarna och kontrollera både yttervinkelsatsen och triangelns summa. I exemplet är yttervinkeln $60^{\circ}$, de motstående $28^{\circ}$ och $32^{\circ}$, och den intilliggande inre vinkeln $120^{\circ}$. Triangeln har då $28^{\circ} + 32^{\circ} + 120^{\circ} = 180^{\circ}$.

I en likbent triangel är vinklarna mittemot de lika sidorna lika. Om en yttervinkel vid topphörnet är $100^{\circ}$ är toppens inre vinkel $80^{\circ}$. De två lika basvinklarna delar de återstående $100^{\circ}$, så varje basvinkel är $50^{\circ}$. Samma svar fås eftersom yttervinkeln vid toppen är summan av basvinklarna.

Markera vilka sidor som är lika innan du bestämmer vilka vinklar som är lika. Basen är sidan som inte ingår i det lika paret. En figur kan vara roterad, så topphörnet behöver inte ligga högst på sidan. Geometriska markeringar är säkrare än orientering.

En triangel har en relevant yttervinkel vid varje hörn om en sida förlängs i en bestämd riktning. Väljer du en yttervinkel per hörn och går runt triangeln i samma riktning blir deras summa $360^{\circ}$. Varje yttervinkel är $180^{\circ}$ minus motsvarande inre vinkel.

Det finns också den reflexa vinkeln utanför, men i grunduppgifter avses normalt den vinkel som bildar sidovinkel med den inre vinkeln. Läs vinkelbågen. Om en figur visar flera förlängningar ska du koppla varje yttervinkel till rätt hörn och rätt två motstående inre vinklar.

I sammansatta figurer kan en yttervinkel till en triangel samtidigt vara en inre vinkel i en annan. Bestäm den från den figur där informationen är tydlig och för över exakt samma gradtal till den andra. Arbeta en triangel i taget och skriv en kort motivering vid varje övergång.

Om parallella linjer finns kan alternatvinklar eller likbelägna vinklar först ge en av triangelvinklarna, varefter yttervinkelsatsen bestämmer nästa. Kontrollera villkoren för varje regel separat. Att flera regler används i följd gör inte någon av dem mindre beroende av sina markeringar.

Eftersom yttervinkeln är summan av två positiva motstående inre vinklar är den större än var och en av dem. Om $\gamma = \alpha + \beta$ och $\alpha$ samt $\beta$ är större än 0 följer $\gamma > \alpha$ och $\gamma > \beta$. Detta ger en snabb jämförelse utan att några exakta gradtal behöver räknas.

Egenskapen kan användas för att avvisa orimliga svar eller för att jämföra vinklar i en kedja av trianglar. Den gäller den vanliga yttervinkeln som är supplement till en inre vinkel. Se till att vinkelbågen inte i stället markerar reflexvinkeln runt hörnet.

Triangelns yttervinkelsats kopplar en bestämd yttervinkel till två motstående inre vinklar. Regeln om $360^{\circ}$ gäller i stället summan av en vald yttre svängvinkel vid varje hörn när du går runt en polygon i samma riktning. De två resultaten är kompatibla men besvarar olika frågor.

För en triangel ger de tre vanliga yttervinklarna tillsammans $360^{\circ}$, eftersom var och en är $180^{\circ}$ minus en inre vinkel och de inre tillsammans är $180^{\circ}$. Men en enda yttervinkel är inte automatiskt $120^{\circ}$. Det gäller bara i en liksidig triangel där de tre är lika. Läs om frågan gäller ett hörn eller hela varvet.

Ett alternativt geometriskt bevis drar en linje genom yttervinkelns hörn parallell med triangelns motstående sida. De två motstående inre vinklarna flyttas då till hörnet som alternatvinklar. Där ligger de intill varandra och fyller exakt yttervinkeln. Konstruktionen visar summan utan att först använda triangelns vinkelsumma.

Hjälplinjen måste vara parallell med rätt sida. Markera parallelliteten och spåra vilken transversallinje som skapar varje alternatvinkel. Beviset förklarar varför de två motstående vinklarna adderas, medan den intilliggande inre vinkeln hamnar på andra sidan av den raka linjen.

I större figurer kan en redan given parallell linje fylla samma funktion. Då kan en av de motstående vinklarna först överföras med alternatvinkelregeln och resten bestämmas som en differens. Varje överföring ska motiveras med parallellitet, inte med att vinklarna ser lika ut.

Beviset ger också en konstruktionsmetod. Om två motstående inre vinklar är kända kan du vid ytterhörnet lägga av två intilliggande vinklar med samma storlek. Deras gemensamma stråle ska då sammanfalla med den förlängda sidan. Om den inte gör det har en vinkel överförts på fel sida av transversalen.

Ringa in den yttre vinkelbågen och markera den inre vinkeln bredvid. Stryk mentalt den intilliggande vinkeln när du söker de två motstående. Skriv antingen $\text{ytter} = \text{motstående}_1 + \text{motstående}_2$ eller $\text{ytter} + \text{intilliggande} = 180^{\circ}$. Välj relationen som använder flest kända värden.

Efter algebra sätter du tillbaka $x$ och kontrollerar tre summor: de motstående ska ge yttervinkeln, yttervinkel plus intilliggande ska ge $180^{\circ}$ och triangelns inre vinklar ska ge $180^{\circ}$. Den tredubbla kontrollen tar sekunder och avslöjar nästan alla identifieringsfel.