Areaformler och sammansatta figurer

En kvadrat med sidan $1\,\mathrm{cm}$ har arean $1\,\mathrm{cm}^{2}$. En rektangel som är $5\,\mathrm{cm}$ gånger $3\,\mathrm{cm}$ rymmer fem kolumner och tre rader av sådana kvadrater, alltså $15\,\mathrm{cm}^{2}$. Därför är rektangelns area bas gånger höjd. En kvadrat är specialfallet med lika sidor: $A = s^{2}$.

Längder måste ha samma enhet före multiplikation. $2\,\mathrm{m}$ gånger $50\,\mathrm{cm}$ ska inte bli $100\,\mathrm{m}^{2}$. Omvandla $50\,\mathrm{cm}$ till $0{,}5\,\mathrm{m}$ och få $1\,\mathrm{m}^{2}$, eller $2\,\mathrm{m}$ till $200\,\mathrm{cm}$ och få $10 000\,\mathrm{cm}^{2}$. Eftersom $1\,\mathrm{m} = 100\,\mathrm{cm}$ gäller $1\,\mathrm{m}^{2} = 10 000\,\mathrm{cm}^{2}$.

Två kongruenta trianglar kan sättas ihop till ett parallellogram, vilket ger $A =\frac{bh}{2}$. Basen kan vara vilken sida som helst, men höjden måste vara det vinkelräta avståndet till basens linje från motstående hörn. En sned sida är inte höjd om den inte står vinkelrätt mot basen.

I en trubbig triangel kan höjden falla utanför själva triangeln när baslinjen förlängs. Formeln gäller ändå. I en rätvinklig triangel kan kateterna användas som bas och höjd, eftersom de är vinkelräta. Välj det par som ger enklast beräkning.

En parallellogram kan klippas och flyttas till en rektangel med samma bas och vinkelräta höjd, så $A = bh$. Den sneda sidan påverkar inte arean om bas och höjd är oförändrade. Ett parallelltrapets har två parallella sidor med längderna $a$ och $b$. Arean är medelvärdet av de parallella sidorna gånger höjden: $A = (a + b)\frac{h}{2}$.

Höjden är alltid det kortaste avståndet mellan de parallella linjerna och står vinkelrätt mot dem. I figurer kan en streckad hjälplinje visa höjden. Om bara en sned sida ges kan Pythagoras eller annan geometri behövas för att bestämma höjden innan areaformeln används.

En cirkel med radie $r$ har area $A = \pi r^{2}$. Diametern $d$ är $2r$, så om diametern ges måste du först halvera den. En cirkel med diameter 10 har radie 5 och area $25\pi$, inte $100\pi$. Det exakta svaret med $\pi$ är ofta att föredra om ingen decimal efterfrågas.

En halvcirkel har halva cirkelarean och en fjärdedelscirkel en fjärdedel. En ringyta mellan koncentriska cirklar med radier $R$ och $r$ har area $\pi R^{2} - \pi r^{2} = \pi (R^{2} - r^{2})$. Subtrahera hela areorna, inte bara radierna. Omkretsen $2\pi r$ mäter längd och ska inte blandas ihop med ytan $\pi r^{2}$.

Rita hjälplinjer så att figuren blir rektanglar, trianglar, cirkeldelar eller parallelltrapetser. Addera delar som ingår och subtrahera hål eller urtag. Samma figur kan ofta delas på flera sätt. Välj den uppdelning som använder givna mått direkt och kräver minst nya beräkningar.

Undvik dubbelräkning. Om en stor rektangel delas i två mindre ska deras inre gemensamma kant inte påverka area, men varje delarea ska räknas exakt en gång. Skriv en areaekvation före talen, exempelvis $\text{total area} = \text{stor rektangel} - \text{utskuren triangel}$. Då blir tecknen tydliga.

I trappformade figurer anges ofta total bredd och några delbredder. En saknad längd fås genom subtraktion. Om totalen är 15 och två horisontella delar är 4 och 6 återstår 5. Parallella kanter i en rektangulär figur kan hjälpa dig flytta mått till rätt del.

Pythagoras kan ge höjd i en triangel eller sned figur. Likformighet kan också ge mått, men använd bara relationer som följer av givna vinklar eller parallellitet. Räkna saknade längder separat och märk dem i figuren innan du använder areaformeln.

Om alla längder multipliceras med $s$ multipliceras arean med $s^{2}$. En figur som förstoras till dubbla sidlängder får fyra gånger så stor area. Om längderna tredubblas blir arean nio gånger så stor. Sambandet gäller alla likformiga figurer, inte bara kvadrater.

Om areaförhållandet är känt får du längdskalan genom kvadratroten. En likformig figur med 25 gånger så stor area har fem gånger så stora motsvarande längder. Om endast en längd ändras och formen inte förblir likformig kan du inte använda $s^{2}$ generellt. Då måste den faktiska formeln användas.

En sektor med medelpunktsvinkel $v$ har arean $\frac{v}{360^{\circ}} \cdot \pi r^{2}$. En $90^{\circ}$ sektor är en fjärdedel av cirkeln och en $60^{\circ}$ sektor en sjättedel. Om radien är 6 och vinkeln $120^{\circ}$ blir arean $\frac{120}{360} \cdot 36\pi = 12\pi$. Formeln förutsätter att vinkeln sitter i cirkelns centrum.

Ett cirkelsegment är området mellan en kord och en cirkelbåge. Det fås ofta genom sektorarea minus triangelarea och ska inte blandas ihop med sektorn. Om uppgiften frågar efter en skuggad del bör du först identifiera om den begränsas av två radier eller av en kord.

Rektanglarna 1 gånger 12 och 3 gånger 4 har båda area 12, men omkretsarna är 26 respektive 14. Area beskriver yta, medan omkrets beskriver gränsens längd. En figur kan därför förändra form utan att arean ändras samtidigt som omkretsen gör det.

Om area och en dimension ges kan en saknad dimension lösas ur formeln. En triangel med area 30 och bas 12 har höjd $h$ från $\frac{12h}{2} = 30$, alltså $h = 5$. Kontrollera att frågan efterfrågar vinkelrät höjd och inte en sned sida. I sammansatta problem kan det vara snabbare att lösa en okänd area först och därefter den längd som formeln binder till den.

Två trianglar med samma vinkelräta höjd har areor i samma förhållande som sina baser. Om baserna är 3 och 7 blir areaförhållandet 3:7 utan att höjden behöver vara känd. På motsvarande sätt får trianglar med samma bas areor i samma förhållande som sina höjder. Faktoren $\frac{1}{2}$ finns i båda och förkortas bort.

När en diagonal dras i en parallellogram bildas två trianglar med samma area. De har gemensam diagonal som bas och samma vinkelräta avstånd från de motstående parallella hörnen. Detta ger en geometrisk förklaring som är starkare än att figuren ser symmetrisk ut, eftersom resultatet gäller även för en sned parallellogram.

Areaförhållanden kan också användas baklänges. Om två trianglar har samma höjd, den ena basen 5 och den andra arean tre gånger så stor, måste den andra basen vara 15. Kontrollera att höjden verkligen är gemensam eller lika innan basförhållandet används.

Skriv vad som är bas, vinkelrät höjd och radie direkt i figuren. Omvandla alla längder till samma enhet innan multiplikation. Dela sammansatta figurer med så få hjälplinjer som möjligt och skriv en symbolisk areaekvation före sifferberäkningen. Behåll $\pi$ exakt om svarsalternativen gör det.

Rimlighetskontrollera mot en omslutande rektangel eller annan enkel form. En utskuren figur kan inte få större area än hela formen. Om längder fördubblas i en likformig figur ska arean fyrdubblas. Avsluta med kvadratenhet och kontrollera att du inte råkat beräkna omkrets.