Pythagoras sats från grundidé till HP strategi

Om en triangel har en vinkel på $90^{\circ}$ kallas sidorna intill den räta vinkeln kateter. Sidan mitt emot är hypotenusan och är alltid längst. Om kateterna betecknas $a$ och $b$ och hypotenusan $c$ gäller $a^{2} + b^{2} = c^{2}$. Bokstaven $c$ är inte automatiskt hypotenusa i en given figur; du måste först se vilken sida som ligger mitt emot $90^{\circ}$.

Utan en rät vinkel får formeln inte användas. Att en triangel ser rätvinklig ut räcker inte. Leta efter rätvinkelmarkering, ett uttryckligt villkor eller information som genom omvändningen bevisar rätvinklighet. Kontrollera också att alla längder har samma enhet innan de kvadreras.

Tänk dig en kvadrat byggd utåt på varje sida av den rätvinkliga triangeln. Kvadraten på sidan $a$ har area $a^{2}$, kvadraten på $b$ har area $b^{2}$ och kvadraten på hypotenusan har area $c^{2}$. Satsen säger att de två mindre kvadraternas sammanlagda area är exakt lika med den stora kvadratens area.

Detta förklarar varför sidlängderna inte ska adderas direkt. För kateter 3 och 4 är hypotenusan inte 7 utan $\sqrt{9 + 16} = 5$. Kvadreringen gör att relationen handlar om areor. Roten i sista steget omvandlar tillbaka från kvadrerad längdenhet till längd.

Om hypotenusan $c$ och en katet $a$ är kända flyttar du över $a^{2}$: $b^{2} = c^{2} - a^{2}$. Hypotenusans kvadrat står först eftersom den är störst. För $c = 13$ och $a = 5$ blir $b^{2} = 169 - 25 = 144$, så $b = 12$. Ett negativt värde under roten skulle visa att givna längder eller sidroller är omöjliga.

Gör storlekskontroll. Den okända kateten måste vara kortare än hypotenusan. Den behöver inte vara kortare än den andra kateten. Behåll exakta rötter när summan eller differensen inte är en perfekt kvadrat. $\sqrt{20}$ kan förenklas till $2\sqrt{5}$, och en decimal ska endast användas om frågan efterfrågar approximation.

Vissa heltal uppfyller $a^{2} + b^{2} = c^{2}$. Vanliga tripplar är 3, 4, 5 samt 5, 12, 13 och 8, 15, 17. Alla gemensamma multiplar fungerar också. Triangeln 6, 8, 10 är 3, 4, 5 förstorad med faktor 2. Att känna igen mönstret kan ersätta en rotberäkning.

Använd tripplar som kontroll, inte som gissning. Ordningen måste placera det största talet som hypotenusa. En triangel med sidor 4, 5 och 6 är inte rätvinklig, trots att talen ligger nära en känd trippel. Beräkna kvadraterna när du är osäker.

Om den längsta sidan är $c$ och $a^{2} + b^{2} = c^{2}$, då är triangeln rätvinklig. Detta är omvändningen av Pythagoras sats. Börja alltid med att sortera sidorna så att det största talet jämförs på höger sida. För 7, 24 och 25 gäller $49 + 576 = 625$, vilket är $25^{2}$, så triangeln är rätvinklig.

Om $a^{2} + b^{2} > c^{2}$ är vinkeln mitt emot $c$ spetsig i den jämförelsen, och om summan är mindre är den trubbig, men på grundnivån räcker ofta slutsatsen att triangeln inte är rätvinklig. Likhet krävs exakt, inte ungefär på grund av en grov ritning.

En rektangels diagonal delar rektangeln i två rätvinkliga trianglar. Med sidlängderna $p$ och $q$ är diagonalen $d = \sqrt{p^{2} + q^{2}}$. För en kvadrat med sida $s$ blir $d = \sqrt{s^{2} + s^{2}} = s\sqrt{2}$. Samma idé används för avstånd mellan hörn och för den längsta raka sträckan i en rektangulär figur.

I en likbent triangel kan höjden från topphörnet dela basen i två lika delar och skapa två rätvinkliga trianglar. Kontrollera att höjden verkligen är vinkelrät och att basen halveras genom symmetrin. Rita in hjälplinjen och märk delmåtten innan du använder satsen.

Om alla sidor i en rätvinklig triangel multipliceras med skalfaktorn $s$, multipliceras hypotenusan också med $s$. Kvadraternas areor multipliceras med $s^{2}$, så relationen bevaras: $(sa)^{2} + (sb)^{2} = s^{2}(a^{2} + b^{2}) = (sc)^{2}$. Detta förklarar varför multiplar av en Pythagoreisk trippel fungerar.

Skilj längdskala från areaskala. En fördubbling av kateterna fördubblar hypotenusan men fyrdubblar triangelns area. På provet kan svarsalternativ blanda dessa två typer av förändring. Skriv enheten och fråga om den sökta storheten är längd eller area.

I en rätblocksliknande figur kan en diagonal i en rektangulär bas först beräknas och därefter användas som katet tillsammans med höjden. Om basen är 3 gånger 4 blir basdiagonalen 5. Om höjden är 12 blir rymddiagonalen $\sqrt{5^{2} + 12^{2}} = 13$. Samma resultat kan skrivas direkt som $\sqrt{3^{2} + 4^{2} + 12^{2}}$, men tvåstegsvägen visar vilka räta vinklar som används.

Varje steg måste ha en bevisad rätvinklig triangel. Märk mellanresultatet med en egen symbol och behåll exakt rot om den ska användas vidare. Om du avrundar en första diagonal och sedan kvadrerar den i nästa steg förstärks felet. Använd därför $d_{1}^{2}$ direkt när det är möjligt.

I en likbent triangel delar höjden från topphörnet figuren i två kongruenta rätvinkliga trianglar. Om de lika sidorna är 13 och basen 10 blir varje halv bas 5. Höjden $h$ uppfyller $h^{2} + 5^{2} = 13^{2}$, så $h^{2} = 144$ och $h = 12$. Triangelns area är därefter $10 \cdot \frac{12}{2} = 60$.

Det är basens halva, inte hela basen, som ska användas i den lilla rätvinkliga triangeln. Egenskapen följer av likbent symmetri. Om triangeln inte är likbent kan höjden dela basen i två olika delar. Då krävs mer information för att bestämma dem.

I en liksidig triangel med sida $s$ delar höjden basen i två delar med längden $\frac{s}{2}$. En av de rätvinkliga halvorna har hypotenusa $s$ och kateter $h$ samt $\frac{s}{2}$. Då $h^{2} = s^{2} - (\frac{s}{2})^{2} =\frac{3s^{2}}{4}$ och $h = \frac{s\sqrt{3}}{2}$. Formeln är härledd ur Pythagoras och behöver inte memoreras fristående.

Arean blir därefter $\frac{sh}{2} = \frac{s^{2}\sqrt{3}}{4}$. För sidan 8 är höjden $4\sqrt{3}$ och arean $16\sqrt{3}$. Behåll rotformen exakt. En decimal kan användas i sista steget om uppgiften kräver approximation, men den exakta formen gör det lättare att se hur en fördubblad sida fyrdubblar arean.

Konstruktionen fungerar eftersom en liksidig triangel också är likbent mot varje vald bas. Höjden från topphörnet är därför både vinkelrät och basdelande. I en godtycklig triangel kan du inte anta att höjden träffar mittpunkten.

Den halva liksidiga triangeln har vinklarna $30^{\circ}, 60^{\circ}$ och $90^{\circ}$ och sidförhållandet $1:\sqrt{3}:2$. Förhållandet kan spara tid, men Pythagoras härledning visar vilken sida som motsvarar varje del och förhindrar att $\sqrt{3}$ placeras på fel katet.

Markera $90^{\circ}$ och ringa in sidan mitt emot som hypotenusa. Skriv formeln med de faktiska sidnamnen innan du sätter in tal. Om hypotenusan söks adderar du kateternas kvadrater. Om en katet söks subtraherar du från hypotenusans kvadrat. Ta roten sist och välj den positiva roten för en längd.

Rimlighetskontrollera att hypotenusan är längst men kortare än kateternas summa. Leta efter kända tripplar och förenkla exakta rötter. Om figuren saknar bevisad rät vinkel ska du inte använda satsen. En korrekt formel på fel triangel är fortfarande en felaktig lösning.