Beroende händelser och träddiagram

Två händelser är beroende om information om den ena förändrar sannolikheten för den andra. Om en urna innehåller tre röda och två blå kulor och en kula dras utan återläggning, är sannolikheten för röd i första dragningen $\frac{3}{5}$. Om den första kulan var röd återstår två röda av fyra kulor, så sannolikheten för röd i andra dragningen blir $\frac{2}{4}$. Om den första var blå återstår tre röda av fyra, så sannolikheten blir $\frac{3}{4}$.

Den andra sannolikheten är villkorad av vad som redan har hänt. Notationen $P(B \mid A)$ läses sannolikheten för $B$ under villkoret att $A$ har inträffat. Produktregeln för en viss ordnad väg är $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)$. Träddiagrammet gör villkoret synligt genom att varje andra gren startar från ett bestämt första utfall.

Beroende betyder inte att händelserna orsakar varandra i vardaglig mening. Det betyder bara att sannolikhetsmodellen ändras när information läggs till. Kortdragning utan återläggning är beroende eftersom kortleken förändras. Information om en persons grupp kan också förändra en villkorad andel, utan att gruppen nödvändigtvis orsakar utfallet.

Börja med alla möjliga utfall i första steget och skriv sannolikheten på varje gren. Från varje första utfall ritar du sedan de utfall som är möjliga i nästa steg. Uppdatera antalen utifrån vad som försvunnit. Summan av grenarnas sannolikheter från varje nod ska vara ett. Den kontrollen gäller lokalt vid varje förgrening.

I en urna med fyra vita och två svarta kulor är första grenarna vit $\frac{4}{6}$ och svart $\frac{2}{6}$. Efter vit återstår tre vita och två svarta av fem, så de nya grenarna är $\frac{3}{5}$ och $\frac{2}{5}$. Efter svart återstår fyra vita och en svart, så grenarna är $\frac{4}{5}$ och $\frac{1}{5}$. Att använda $\frac{4}{6}$ och $\frac{2}{6}$ även i andra steget skulle felaktigt behandla dragningarna som oberoende.

Skriv antal tillsammans med sannolikheterna. Anteckningen 3 vita, 2 svarta vid en nod gör det lättare att se nästa nämnare. Vid tre eller fler dragningar växer trädet snabbt, så rita bara de grenar som behövs om frågan gäller en specifik händelse. För en minst en fråga kan komplementet ingen vara betydligt kortare.

En väg genom trädet betyder att alla händelser på vägen ska inträffa. Därför multipliceras grenarnas sannolikheter. Om sannolikheten för $A$ är $\frac{2}{5}$ och sannolikheten för $B$ efter $A$ är $\frac{3}{4}$, är sannolikheten för följden $A$ sedan $B$ lika med $\frac{2}{5}$ gånger $\frac{3}{4} =\frac{3}{10}$.

Ordningen kan ge olika faktorer men ibland samma slutprodukt. I en urna med tre röda och två blå är sannolikheten för röd sedan blå $\frac{3}{5}$ gånger $\frac{2}{4} =\frac{3}{10}$. Blå sedan röd är $\frac{2}{5}$ gånger $\frac{3}{4} =\frac{3}{10}$. Produkterna råkar vara lika eftersom båda vägarna väljer en av varje färg, men vägarna är fortfarande separata och måste båda tas med om ordningen inte spelar roll.

Förkorta gärna mellan faktorerna innan du multiplicerar. Det håller talen små och gör sannolikheten lättare att granska. Nämnarna i en dragning utan återläggning minskar vanligtvis med ett för varje steg. Om de förblir lika trots att inget läggs tillbaka är det en varningssignal.

Om en händelse kan inträffa genom flera ömsesidigt uteslutande vägar beräknar du varje väg och adderar resultaten. Händelsen exakt en röd vid två dragningar kan ske som röd sedan blå eller blå sedan röd. De två ordnade följderna kan inte inträffa samtidigt i samma två dragningar, så deras sannolikheter adderas.

Orden och och eller styr operationerna i trädet. Längs en väg krävs första och andra händelsen, vilket ger multiplikation. Mellan alternativa vägar räcker den ena eller den andra, vilket ger addition när vägarna är disjunkta. Denna struktur är säkrare än att försöka minnas en formel för varje frågetyp.

Kontrollera att vägarna verkligen täcker hela den efterfrågade händelsen. Exakt två röda i tre dragningar kan ske som röd röd blå, röd blå röd eller blå röd röd. Om bara två vägar tas med blir sannolikheten för liten. Lista positionerna för de gynnsamma utfallen innan du räknar.

Händelsen minst en innehåller flera möjliga antal och ordningar. Vid tre dragningar kan minst en röd betyda en, två eller tre röda. Komplementet är ingen röd, alltså att alla dragna är icke röda. Den vägen är ofta mycket kortare. Sannolikheten för minst en röd blir ett minus sannolikheten för ingen röd.

Vid dragning utan återläggning måste även komplementvägen uppdatera sannolikheterna. Om en urna har fem röda och fyra blå och tre kulor dras, är sannolikheten för ingen röd samma som tre blå: $\frac{4}{9}$ gånger $\frac{3}{8}$ gånger $\frac{2}{7} =\frac{1}{21}$. Sannolikheten för minst en röd är då $\frac{20}{21}$.

Kontrollera att komplementet är möjligt. Om fler icke gynnsamma objekt ska dras än vad som finns är sannolikheten för ingen gynnsam noll, och minst en gynnsam är säker. Om tre kulor dras ur en urna med två blå och resten röda kan inte alla tre vara blå.

En villkorad sannolikhet begränsar utfallsrummet till fall där villkoret är uppfyllt. Om 40 personer består av 24 som studerar och 16 som inte gör det, och 18 av de studerande klarar ett test, är sannolikheten att en slumpmässigt vald person klarar testet givet att personen studerar $\frac{18}{24}$. Nämnaren är de 24 studerande, inte alla 40.

Villkorens riktning spelar roll. $P$(klarar givet studerar) är inte samma som $P$(studerar givet klarar). Den senare behöver antalet studerande bland alla som klarar och har en annan nämnare. Språket efter givet bestämmer den begränsade gruppen.

I träddiagram syns villkorade sannolikheter på grenar efter första nivån. Du kan också återfinna dem genom $\frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ när $P(A)$ är större än noll. Formeln säger att bland alla fall där $A$ inträffar tar du den andel där även $B$ inträffar. På HP räcker ofta en tabell eller ett tydligt grenresonemang.

Skriv kvarvarande antal vid varje nod. Efter varje dragning utan återläggning minskar totalen med ett, och den kategori som drogs minskar också med ett. Den lilla anteckningen gör att nästa gren nästan skriver sig själv. Kontrollera att grenarna från samma nod summerar till ett.

Översätt frågan till vägar innan du räknar. En bestämd följd ger en produkt. Exakt ett utfall kräver alla positioner där detta kan ske och därefter en summa. Minst ett löses ofta enklast som ett minus ingen. Villkorat på betyder att nämnaren begränsas till den grupp som villkoret anger.

Förkorta faktorprodukten före multiplikation och vänta med decimaler. Sannolikheter som bygger på små heltal blir ofta rena bråk. Gör sedan en rimlighetskontroll: en specifik ordning ska inte vara mer sannolik än den bredare händelsen utan ordningskrav, och summan av alla fullständiga slutvägar ska vara ett.