Oberoende händelser och träddiagram

Händelserna $A$ och $B$ är oberoende om kunskap om $A$ inte ändrar sannolikheten för $B$. Då gäller $P(B \mid A) = P(B)$, förutsatt att $P(A)$ är större än noll. En likvärdig produktregel är $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. Regeln är inte ett allmänt sätt att beräkna och händelser. Den får den enkla formen just därför att händelserna är oberoende.

Två kast med en rättvis tärning är oberoende om det första kastet inte påverkar tärningen eller det andra kastet. Sannolikheten för en sexa i andra kastet är $\frac{1}{6}$ oavsett vad det första kastet visade. Sannolikheten för två sexor blir $\frac{1}{6}$ gånger $\frac{1}{6} =\frac{1}{36}$. Det första utfallet kan ge information om en observerad serie, men det ändrar inte den fysiska modellen för nästa kast.

Oberoende kan också gälla händelser inom ett enda sammansatt försök. Om ett rättvist mynt och en rättvis tärning används kan händelsen krona och händelsen jämnt tärningstal vara oberoende, eftersom myntresultatet inte ändrar tärningens fördelning. Kontrollera alltid modellens antagande. I verkliga data kan två variabler samvariera även om en förenklad uppgift ber dig behandla dem som oberoende.

När ett slumpmässigt valt objekt läggs tillbaka före nästa dragning återställs ursprungsläget. En urna med tre röda och två blå kulor ger sannolikheten $\frac{3}{5}$ för röd vid varje dragning med återläggning. Efter en röd läggs kulan tillbaka, så det finns åter tre röda och två blå. Trädets grenar är därför identiska från varje nod.

Sannolikheten för röd följd av blå blir $\frac{3}{5}$ gånger $\frac{2}{5} =\frac{6}{25}$. Sannolikheten för blå följd av röd blir också $\frac{2}{5}$ gånger $\frac{3}{5} =\frac{6}{25}$. Exakt en röd i två dragningar består av dessa två vägar och får sannolikheten $\frac{12}{25}$. Att återläggning används avgör nämnarna, medan ordningskravet avgör vilka vägar som ska adderas.

Återläggning är ett tillräckligt villkor för oberoende i den vanliga urnmodellen, men ordet återläggning behöver inte förekomma i alla oberoende situationer. Upprepade myntkast, separata tärningar eller slumpmässiga val från en mycket tydligt återställd generator kan också vara oberoende. Sök efter om sannolikhetsfördelningen är densamma inför varje försök.

Ett träddiagram för oberoende upprepningar har samma grenetiketter på varje nivå. Om sannolikheten för träff är 0,4 och miss 0,6, ska varje nod följas av en träffgren 0,4 och en missgren 0,6. Grenarna från varje nod summerar till ett. Efter tre försök finns åtta ordnade slutvägar när varje försök har två möjliga utfall.

Multiplicera längs en väg eftersom alla resultaten på vägen krävs. Vägen träff, miss, träff har sannolikheten 0,4 gånger 0,6 gånger $0{,}4 = 0{,}096$. En annan ordning med två träffar och en miss får samma produkt eftersom faktorerna är desamma i annan ordning. Vägarna är ändå olika utfall och måste adderas om händelsen bara anger antalet träffar.

Trädet är också en fullständig kontroll. Summan av alla slutvägars sannolikheter ska vara ett. För två utfall med sannolikheter $p$ och $1 - p$ motsvarar summan efter $n$ steg utvecklingen av $(p + 1 - p)$ upphöjt till $n$, alltså ett. Du behöver inte använda binomialformeln på grundläggande nivå, men strukturen förklarar varför inget sannolikhetsmått saknas.

Vid tre oberoende försök kan exakt två träffar uppstå som träff träff miss, träff miss träff eller miss träff träff. Varje väg har två faktorer $p$ och en faktor $1 - p$. Eftersom vägarna är ömsesidigt uteslutande adderas de. Om $p$ är samma i varje försök har de samma sannolikhet, så du kan beräkna en väg och multiplicera med antalet ordningar.

Antalet ordningar kan listas när antalet försök är litet. För exakt två träffar av fyra finns sex positioner: TTMM, TMTM, TMMT, MTTM, MTMT och MMTT. Vid större tal används kombinationer, men HP uppgifter kan ofta lösas med systematisk listning eller en enkel kombinationsberäkning.

Ta inte bara $p$ upphöjt till antalet träffar. Då saknas både missarnas sannolikhet och antalet placeringar. Uttrycket $p$ upphöjt till två beskriver sannolikheten att två specifika försök båda är träffar, utan att säga något om övriga försök. Exakt två av tre kräver att det återstående försöket är miss och att alla tre positioner räknas.

Händelsen minst en träff innehåller en träff, två träffar och så vidare upp till träff i alla försök. Komplementet är ingen träff. Om försöken är oberoende och träffsannolikheten är $p$, är sannolikheten för ingen träff $(1 - p)$ upphöjt till antalet försök. Därför är sannolikheten för minst en träff ett minus denna produkt.

Om sannolikheten för ett fel är 0,02 per oberoende objekt blir sannolikheten för inget fel bland fem objekt 0,98 upphöjt till 5. Sannolikheten för minst ett fel är 1 minus detta värde. Det är fel att bara multiplicera 5 med 0,02 och kalla resultatet sannolikhet. Produkten 0,10 är det förväntade antalet fel, och approximationen kan ligga nära vid små sannolikheter men är inte exakt sannolikhet för minst ett fel.

Komplementmetoden fungerar även när $p$ är ett bråk. Vid fyra tärningskast är sannolikheten för ingen sexa $(\frac{5}{6})$ upphöjt till 4. Minst en sexa är $1 - \frac{625}{1296} =\frac{671}{1296}$. Svaret är mindre än $\frac{4}{6}$, eftersom vägar med flera sexor annars överräknas i en enkel summa av fyra enskilda sannolikheter.

Ömsesidigt uteslutande händelser kan inte inträffa samtidigt. Oberoende händelser kan inträffa samtidigt, och det gemensamma utfallet har produktsannolikheten. Vid ett tärningskast är händelserna jämnt tal och tal större än 3 inte uteslutande, eftersom 4 och 6 uppfyller båda. De kan i just detta fall undersökas för oberoende genom att jämföra $P(A \cap B)$ med $P(A)P(B)$.

Två händelser med positiv sannolikhet kan inte vara både oberoende och ömsesidigt uteslutande. Om de vore uteslutande skulle $P(A \cap B)$ vara noll, men oberoende skulle kräva produkten $P(A)P(B)$, som är positiv. Endast om minst en händelse har sannolikheten noll kan båda egenskaperna förenas.

Det praktiska räknesteget skiljer sig också. För uteslutande $A$ eller $B$ adderar du sannolikheterna. För oberoende $A$ och $B$ multiplicerar du sannolikheterna. Orden eller och och samt relationen mellan händelserna måste läsas tillsammans. Det går inte att välja operation enbart från att två händelser nämns.

När data ges i en korstabell kan du testa om två händelser är oberoende genom att jämföra en villkorad andel med den totala andelen. Om 40 procent av samtliga svarar ja och även 40 procent inom grupp $A$ svarar ja, ger grupp $A$ ingen förändring av ja sannolikheten. För fullständigt oberoende ska motsvarande relation hålla för alla relevanta kategorier.

Du kan också använda produktregeln. Om $P(A) = 0{,}5, P(B) = 0{,}4$ och $P(A \cap B) = 0{,}2$, stämmer 0,5 gånger $0{,}4 = 0{,}2$. Då är händelserna oberoende enligt de givna sannolikheterna. Om den gemensamma sannolikheten i stället är 0,3 är de beroende.

Liknande procenttal efter avrundning bevisar inte exakt oberoende i verklig statistik. På en ren matematikuppgift behandlas tabellens exakta heltal eller angivna sannolikheter som underlag. Räkna med bråk så långt som möjligt för att undvika att avrundning skapar en falsk likhet.

Avgör först om sannolikheten återställs. Med återläggning, separata rättvisa redskap och uttryckligt oberoende betyder normalt oförändrade grenar. Utan återläggning betyder normalt beroende grenar. Anta inte oberoende bara för att uppgiften innehåller flera försök.

Översätt händelsen till en struktur. En bestämd följd är en produkt. Exakt $k$ kräver en väg med rätt antal träffar och missar multiplicerad med antalet ordningar. Minst en löses genom ett minus sannolikheten för ingen. $A$ eller $B$ kräver union och eventuell korrigering för överlappning.

Kontrollera resultatet mot enklare gränser. Sannolikheten för en specifik följd kan inte vara större än sannolikheten för dess första steg. Minst en träff ska vara större än sannolikheten för träff i ett enda försök men aldrig större än ett. Exakt antal och övriga möjliga antal ska tillsammans täcka sannolikheten ett.