Enkla slumpförsök

Ett slumpförsök är en process där det enskilda resultatet inte är säkert på förhand, även om möjliga resultat är kända. Ett kast med en vanlig sexsidig tärning har utfallsrummet {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Ett utfall är ett enskilt resultat, exempelvis 4. En händelse är en samling utfall, exempelvis att få ett jämnt tal, vilket motsvarar {2, 4, 6}.

Sannolikheten för en händelse ligger mellan noll och ett. Noll betyder omöjlig och ett betyder säker. I procentform ligger sannolikheten mellan noll och 100 procent. Summan av sannolikheterna för alla ömsesidigt uteslutande utfall i ett fullständigt utfallsrum är ett. Detta är en central kontroll när en tabell med sannolikheter ska kompletteras.

Utfallsrummet måste beskrivas på rätt detaljnivå. Vid två myntkast är krona följt av klave ett annat ordnat utfall än klave följt av krona. Utfallsrummet består av fyra ordnade par: krona krona, krona klave, klave krona och klave klave. Om du bara skriver noll, ett eller två kronor har du grupperat utfall som inte är lika sannolika, eftersom ett krona kan uppstå på två sätt.

Om alla elementära utfall är lika sannolika beräknas sannolikheten som antal gynnsamma utfall delat med totalt antal möjliga utfall. För en rättvis sexsidig tärning är sannolikheten att få ett tal större än 4 två av sex, eftersom utfallen 5 och 6 är gynnsamma. Bråket $\frac{2}{6}$ förkortas till $\frac{1}{3}$.

Villkoret lika sannolika är avgörande. Om en påse innehåller tre röda och sju blå identiska kulor och en kula dras slumpmässigt är de tio enskilda kulorna lika sannolika. Färgerna röd och blå är däremot inte lika sannolika bara för att det finns två färgkategorier. Sannolikheten för röd är $\frac{3}{10}$, inte $\frac{1}{2}$.

Ett spinnerhjul med olika stora sektorer kräver areandelar eller vinkelandelar, inte antal färger. Om en röd sektor täcker 90 grader av 360 är sannolikheten $\frac{90}{360} =\frac{1}{4}$. Fyra färger på hjulet innebär inte automatiskt att varje färg har sannolikheten $\frac{1}{4}$. Läs hur slumpmekanismen är konstruerad.

Komplementet till en händelse $A$ är att $A$ inte inträffar. Eftersom antingen $A$ eller dess komplement måste inträffa och de inte kan inträffa samtidigt, summerar sannolikheterna till ett. Därför gäller $P$(inte $A) = 1 - P(A)$. Om sannolikheten för regn är 0,3 är sannolikheten för inget regn 0,7, förutsatt att dessa två alternativ täcker hela situationen.

Komplement är särskilt användbart för formuleringar som minst en. Det kan vara enklare att beräkna sannolikheten för ingen och subtrahera från ett. Redan i ett enkelt försök kan du använda det när den gynnsamma händelsen innehåller många utfall. Sannolikheten att ett kort från 1 till 20 inte är en multipel av 5 är ett minus sannolikheten för {5, 10, 15, 20}, alltså $1 - \frac{4}{20} =\frac{4}{5}$.

Var noga med det logiska komplementet. Komplementet till större än 3 är mindre än eller lika med 3, inte bara mindre än 3. Komplementet till minst två är högst ett. Skriv händelsen med ord och testa gränsvärdet så att inget utfall lämnas utanför eller räknas i båda.

I sannolikhet betyder $A$ eller $B$ normalt att minst en av händelserna inträffar, inklusive möjligheten att båda inträffar. Om händelserna inte kan inträffa samtidigt adderas sannolikheterna direkt. På ett tärningskast är händelserna få 1 och få 6 ömsesidigt uteslutande, så sannolikheten för 1 eller 6 är $\frac{1}{6} + \frac{1}{6} =\frac{1}{3}$.

Om händelserna överlappar måste överlappningen subtraheras en gång. Annars räknas den två gånger i summan. Formeln är $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$. För ett kort numrerat 1 till 12 kan $A$ vara jämnt och $B$ vara delbart med 3. Talet 6 och 12 ingår i båda händelserna och behöver korrigeras.

Ett Venndiagram är ett bra tankestöd. Markera först överlappningen, därefter de delar som bara tillhör $A$ respektive $B$. När utfallsrummet är litet kan du också lista unionen direkt. Metoden minskar risken att tolka eller som exakt en av händelserna. Om exakt en efterfrågas ska överlappningen uteslutas helt.

Teoretisk sannolikhet kommer från en modell av försöket. Relativ frekvens är hur stor andel av genomförda försök som gav händelsen. Om ett mynt visar krona 47 gånger på 100 kast är den observerade relativa frekvensen 0,47. Det bevisar inte att myntets exakta sannolikhet är 0,47. Slumpvariation gör att utfallet kan avvika från modellens sannolikhet.

När antalet oberoende försök blir stort tenderar den relativa frekvensen att ligga närmare den sanna sannolikheten, men ingen bestämd serie måste träffa exakt. Tio krona i rad tvingar inte fram klave i nästa kast om myntet och kasten är oberoende. Varje nytt kast har fortfarande samma sannolikhet.

I en empirisk uppgift uppskattas sannolikheten ofta med observerad andel. Om 36 av 240 produkter hade en egenskap blir uppskattningen $\frac{36}{240} = 0{,}15$. Ange gärna att detta är en uppskattning när uppgiften handlar om framtida utfall. Dra inte större slutsatser om kausalitet eller säkerhet än materialet tillåter.

Om en händelse har sannolikheten $p$ i varje av $n$ likartade försök är det förväntade antalet $n$ gånger $p$. Vid 60 kast med en rättvis tärning är förväntat antal sexor 60 gånger $\frac{1}{6} = 10$. Det betyder inte att exakt tio sexor måste komma. Det är ett långsiktigt genomsnitt över många serier med 60 kast.

Det förväntade antalet kan vara ett icke heltal, exempelvis 2,4. Det är inte ett möjligt faktiskt antal i ett enskilt försök, men det kan vara ett korrekt medelvärde. Tänk på medelantal barn per familj: genomsnittet kan ha decimaler även om varje familj har ett helt antal barn.

Om försöken har olika sannolikheter kan du summera varje enskild sannolikhet för den indikator du räknar, men grundläggande HP uppgifter använder oftast samma $p$. Kontrollera att $n$ avser antal försök och inte antal möjliga utfall. Att en tärning har sex sidor betyder inte att sex kast är den naturliga serien i varje problem.

Börja med att definiera utfallsrummet. Fråga om de elementära utfallen verkligen är lika sannolika innan du räknar gynnsamma delat med möjliga. Vid kulor räknar du kulor, vid en rättvis tärning räknar du sidor och vid ett hjul med olika sektorer räknar du vinkel eller area. Den diagnosen är viktigare än själva divisionen.

Översätt logiska ord exakt. Inte signalerar komplement. Minst en kan ofta lösas via ingen. $A$ eller $B$ inkluderar normalt överlappningen. Exakt en utesluter överlappningen. Högst tre inkluderar tre. Skriv ut gränsutfallen när formuleringen kan tolkas på flera sätt.

Gör en sannolikhetskontroll. Svaret måste ligga mellan noll och ett. En händelse som innehåller fler än hälften av lika sannolika utfall ska ha sannolikhet över en halv. En händelse och dess komplement ska summera till ett. Förväntat antal kan inte vara större än antal försök när du räknar en händelse högst en gång per försök.