Räkneregler för negativa tal

På tallinjen ökar talen åt höger och minskar åt vänster. Därför är $-2$ större än $-7$: $-2$ ligger närmare noll och längre åt höger. Ordet större får inte blandas ihop med större avstånd från noll. Talet $-7$ har större absolutbelopp än $-2$, eftersom $\lvert -7 \rvert = 7$ och $\lvert -2 \rvert = 2$, men $-7$ är ändå det mindre talet.

Ett tals motsatta tal ligger lika långt från noll på andra sidan. Motsatsen till 5 är $-5$ och motsatsen till $-5$ är 5. Summan av ett tal och dess motsats är noll. Den egenskapen förklarar varför subtraktion kan skrivas som addition av motsatsen: $a - b = a + (-b)$. Regeln fungerar oavsett om $b$ är positivt eller negativt.

Att addera ett positivt tal innebär en förflyttning åt höger. Att addera ett negativt tal innebär en förflyttning åt vänster. Uttrycket $-3 + 8$ startar vid $-3$ och flyttar åtta steg åt höger till 5. Uttrycket $4 + (-9)$ startar vid 4 och flyttar nio steg åt vänster till $-5$. Om termerna har olika tecken kan du jämföra deras absolutbelopp, subtrahera det mindre från det större och behålla tecknet från termen med störst absolutbelopp.

Vid subtraktion byter du till addition av motsatsen innan du räknar. Då blir $6 - (-4)$ lika med $6 + 4$, eftersom motsatsen till $-4$ är 4. Två minustecken blir alltså inte plus av ren symbolmagi. Det första tecknet betyder subtraktion och det andra hör till talet. När subtraktionen skrivs om tas motsatsen till hela det andra talet.

En positiv faktor kan förstås som upprepad addition. Tre gånger $-4$ är $-4 + (-4) + (-4) = -12$. För att förstå en negativ faktor använder vi räknelagarna. Eftersom $0 = (-3) \cdot 0 = (-3) \cdot (4 + (-4))$, ger distributiva lagen $0 = (-3) \cdot 4 + (-3) \cdot (-4)$. Den första produkten är $-12$, så den andra måste vara 12 för att summan ska bli noll. Därför ger två negativa faktorer en positiv produkt.

Division är det omvända räknesättet till multiplikation och följer samma teckenmönster. Lika tecken ger positiv kvot och olika tecken ger negativ kvot. Exempelvis är $-24 \div 6 = -4$ eftersom $6 \cdot (-4) = -24$. Talet noll kan delas med ett tal som inte är noll och ger då noll. Däremot är division med noll aldrig tillåten.

När flera plus och minus förekommer är det ofta enklast att gruppera positiva och negativa termer var för sig. Flytta då inte bara siffran. Tecknet framför termen måste följa med, eftersom det beskriver om termen bidrar positivt eller negativt till summan.

Sätt parentes kring ett negativt tal när det står efter ett räknesätt. Det gör rollerna synliga. I $a - (-b)$ är det yttre tecknet en operation och det inre är en del av talet. Först därefter används regeln om motsatsen.

Parentesen avgör om minustecknet ingår i potensens bas. $(-2)^{4}$ har fyra negativa faktorer och blir positivt. $-2^{4}$ betyder att potensen $2^{4}$ beräknas först och att ett negativt tecken sätts framför resultatet. Skillnaden är central när svarsalternativen har motsatta tecken.

Vid jämförelser kan tecknet ofta avgöra uppgiften innan något exakt räknas ut. Ett positivt tal är alltid större än ett negativt. Om båda är negativa är det talet med minst absolutbelopp som är störst. Den kontrollen är särskilt effektiv när uttrycken ser långa ut men bara storleksordningen efterfrågas.

När en uppgift innehåller många negativa tal bör du först förutsäga resultatets tecken. Räkna antalet negativa faktorer i en produkt: ett jämnt antal ger positiv produkt och ett udda antal ger negativ. Vid summor bedömer du vilken sida, positiv eller negativ, som har störst sammanlagt absolutbelopp. Den snabba prognosen gör det lätt att upptäcka ett felaktigt slutvärde.

Skriv parenteser kring negativa tal som sätts in i en formel. Om $x = -3$ ska $x^{2}$ skrivas som $(-3)^{2}$. Utan parentes kan anteckningen misstolkas som $-3^{2}$. Vid svarsalternativ kan du ofta eliminera alla med fel tecken innan du räknar färdigt. Använd sedan insättning eller motsatt räknesätt för kontroll.

Negativa tal kan beskriva ett riktat värde, till exempel temperatur relativt noll, höjd relativt havsnivå eller förändring på ett konto. Om temperaturen går från $-6$ grader till 4 grader är förändringen $4 - (-6) = 10$ grader. Det är inte samma fråga som summan av temperaturerna. Identifiera startvärde, slutvärde och riktning innan tecknen räknas.

Absolutbelopp mäter avstånd utan riktning. Avståndet mellan talen $a$ och $b$ är $\lvert a - b \rvert$. Mellan $-7$ och 5 är avståndet $\lvert -7 - 5 \rvert = \lvert -12 \rvert = 12$. Om ordningen byts fås $\lvert 5 - (-7) \rvert = \lvert 12 \rvert = 12$. Formeln blir därför oberoende av vilket tal som skrivs först, trots att själva differenserna har motsatta tecken.

En förändringskedja blir tydligare om varje händelse skrivs som ett signerat tal. En minskning med 8 är förändringen $-8$ och en återhämtning med 3 är $+3$. Nettot är $-5$. Den representationen fungerar i tabeller och grafer och gör att ord som minskar med ett negativt tal inte förväxlas med vanlig subtraktion.

Multiplikation med $-1$ ger ett tals motsats och kan ses som en spegling i noll på tallinjen. Två sådana speglingar återför talet till utgångsläget, vilket är ännu ett sätt att förstå varför $(-1)(-1) = 1$. För en hel produkt kan tecknet därför avgöras genom att para ihop negativa faktorer två och två.

Parenteser runt subtraktioner bör behållas tills motsatsen har tagits. Uttrycket $-(a - b)$ blir $-a + b$, inte $-a - b$. Om $a$ och $b$ själva är negativa kan en numerisk kontroll vara värdefull. Med $a = -2$ och $b = -5$ är ursprunget $-[(-2) - (-5)] = -3$, och den utvecklade formen $2 - 5$ ger samma värde.

Ett negativt bråk kan skrivas $\frac{-a}{b},\frac{-a}{b}$ eller $\frac{a}{-b}$. Alla tre har samma värde när $b \ne 0$. Två negativa tecken, ett i täljaren och ett i nämnaren, ger däremot positiv kvot. Placera helst minustecknet framför hela bråket när tecknet gäller kvoten, eftersom formen blir lättare att läsa.

Vid addition av negativa bråk behövs en gemensam nämnare precis som för positiva. Uttrycket $\frac{-3}{4} + \frac{5}{6}$ får nämnaren 12 och blir $\frac{-9}{12} + \frac{10}{12} =\frac{1}{12}$. Tecknen behandlas på täljarna efter att bråken har skrivits i jämförbar form.

En udda heltalsexponent bevarar tecknet hos en negativ bas, medan en jämn exponent ger positivt värde. Därför är $(-2)^{5} = -32$ och $(-2)^{6} = 64$. Om minustecknet står utanför parentesen är basen positiv 2 och det negativa tecknet appliceras efter potensen.

För att jämföra negativa bråk kan du använda tallinjen eller korsprodukter när nämnarna är positiva. Mellan $\frac{-5}{8}$ och $\frac{-2}{3}$ är det första större, eftersom $-0{,}625$ ligger till höger om ungefär $-0{,}667$. Exakt jämförelse ger $-5 \cdot 3 = -15$ och $-2 \cdot 8 = -16$, så $\frac{-15}{24}$ är större än $\frac{-16}{24}$.

Noll är varken positivt eller negativt. I en produkt gör en nollfaktor hela produkten noll, oavsett övriga tecken. I en kvot får täljaren vara noll om nämnaren inte är noll, men en nollnämnare är förbjuden. Den skillnaden är viktig i teckenanalys.

Summans tecken kan inte bestämmas enbart genom att räkna negativa termer. Uttrycket $-100 + 2 + 3$ har två positiva termer men är negativt eftersom det negativa absolutbeloppet dominerar. Jämför därför total storlek på de positiva och negativa bidragen efter att likformiga eller numeriska termer har samlats.

I en parenteskedja ska varje motsats tas på rätt nivå. Uttrycket $-[-(x - 2)]$ innehåller två multiplikationer med $-1$ och förenklas tillbaka till $x - 2$. Att öppna en parentes i taget gör att de två teckenbytena syns och kan kontrolleras.