Olikheter

Uttrycket $x < 4$ betyder att $x$ kan vara vilket reellt tal som helst mindre än 4. Talet 4 ingår inte. Uttrycket $x \le 4$ inkluderar däremot 4. På en tallinje markeras en strikt gräns vanligen med en öppen punkt och en inkluderad gräns med en fylld punkt. Lösningsområdet fortsätter i pilens riktning.

Samma jämförelse kan skrivas från motsatt håll. $x < 4$ är ekvivalent med $4 > x$. När leden byter plats ändras tecknets riktning så att den öppna sidan fortfarande vetter mot det större uttrycket. Läs alltid påståendet i ord: $x$ är mindre än 4 eller 4 är större än $x$.

Om $a < b$ och samma tal $c$ adderas till båda sidor gäller $a + c < b + c$. Avståndet och ordningen på tallinjen förändras inte. Multiplikation med ett positivt tal bevarar också ordningen. Om $2 < 5$ är $6 < 15$ efter multiplikation med 3.

Multiplikation med ett negativt tal speglar talen kring noll. Från $2 < 5$ får vi $-2 > -5$ efter multiplikation med $-1$. Därför måste tecknet vändas när en olikhet multipliceras eller divideras med ett negativt tal. Regeln gäller hela operationen, inte bara för att ett negativt tal råkar synas i uttrycket.

Lösningen $x \ge -2$ kan visas som en fylld punkt vid $-2$ och en stråle åt höger. I intervallnotation skrivs den $[-2, \infty )$. Oändlighet är aldrig en ändpunkt som ingår, så den får alltid rund parentes. För $x < 3$ skrivs intervallet $(-\infty , 3)$.

En dubbel olikhet som $1 < x \le 5$ beskriver skärningen av två villkor: $x > 1$ och $x \le 5$. På tallinjen är punkten vid 1 öppen och punkten vid 5 fylld. När du gör en operation på en dubbel olikhet måste samma operation göras i alla tre leden.

Lös som en ekvation tills en negativ multiplikation eller division blir aktuell. Dokumentera just det steget tydligt och vänd tecknet samtidigt.

Förutsäg gärna riktningen med ett provtal innan du skriver slutsatsen. Det hjälper dig att upptäcka om tecknet vändes åt fel håll.

Utveckla och samla termer precis som i en ekvation. Olikhetens riktning ändras endast om en multiplikation eller division med ett negativt tal görs på hela olikheten.

Behåll de tre leden i samma rad och gör identiska operationer på alla. Om du dividerar alla led med ett negativt tal måste båda olikhetstecknen vändas.

Orden högst och som mest betyder mindre än eller lika med. Minst och åtminstone betyder större än eller lika med. Färre än och under brukar ge strikt mindre än, medan fler än och över ger strikt större än. Sammanhanget avgör om en fysisk gräns kan antas inkluderad.

Om en biljettbudget är högst 500 kronor och en fast avgift är 80 kronor samt varje biljett kostar 70, skrivs $80 + 70n \le 500$. Lösningen ger $n \le 6$. Eftersom $n$ är ett antal biljetter begränsas svaret till icke negativa heltal, och högst sex biljetter kan köpas.

Efter lösningen bör du snabbt testa gränsvärdet och ett värde i den föreslagna riktningen. Gränstestet avgör om en öppen eller fylld punkt är rätt. Sidotestet avslöjar om tecknet pekar åt fel håll. Det är särskilt värdefullt efter division med en negativ koefficient.

I jämförelseuppgifter behöver du inte alltid lösa fullständigt. Om båda uttrycken förändras på ett känt sätt kan du flytta dem till samma sida och analysera tecknet. Var försiktig med att multiplicera en olikhet med ett uttryck vars tecken är okänt. Dela då upp i fall eller välj en annan metod.

När två villkor ska gälla samtidigt söker du deras skärning. Villkoren $x > 1$ och $x \le 6$ ger $1 < x \le 6$. När minst ett av två villkor får gälla söker du deras union. Villkoren $x < -2$ eller $x \ge 4$ ger två separata strålar. Orden och respektive eller avgör alltså hur tallinjebilderna kombineras.

Absolutbelopp kan beskriva avstånd. Olikheten $\lvert x - 3 \rvert < 5$ säger att avståndet från $x$ till 3 är mindre än 5. Därför ligger $x$ mellan $3 - 5$ och $3 + 5$: $-2 < x < 8$. Med $\le$ inkluderas ändpunkterna. Den geometriska tolkningen är säkrare än att mekaniskt skapa två tecken.

Olikheten $\lvert x - 3 \rvert > 5$ betyder att avståndet är större än 5. Då ligger $x$ utanför intervallet: $x < -2$ eller $x > 8$. Lägg märke till att mindre än ger en sammanhängande skärning mellan gränserna, medan större än ger en union utanför dem.

Om du multiplicerar med ett uttryck vars tecken varierar, som $x - 2$, måste du veta om faktorn är positiv, negativ eller noll. Dela tallinjen vid $x = 2$ och analysera varje intervall, eller undvik multiplikationen. Ett enda globalt teckenbyte kan inte vara korrekt när faktorns tecken beror på $x$.

Ett sammansatt villkor kan kontrolleras med en teckentabell. För $2 < 3x - 1 \le 11$ adderas 1 i alla led och därefter divideras med 3, vilket ger $1 < x \le 4$. Testa ett inre värde som $x = 2$ och båda gränserna för att bekräfta riktning och inkludering.

När heltal efterfrågas ska intervallet översättas till diskreta värden. Olikheten $-1 < n \le 3$ har för heltal lösningarna 0, 1, 2 och 3. Att bara skriva intervallet kan missa att frågan ber om antal möjliga heltalsvärden, i detta fall fyra.

En olikhet med en positiv numerisk nämnare kan behandlas som en ekvation utan teckenbyte. Från $\frac{x}{5} > 3$ följer $x > 15$ efter multiplikation med 5. Med en negativ numerisk nämnare vänds tecknet: $\frac{x}{-5} > 3$ ger $x < -15$.

Om nämnaren innehåller $x$ är dess tecken inte känt över hela tallinjen. Olikheten $\frac{1}{x} > 0$ gäller när $x$ är positivt, medan $x = 0$ är förbjudet och negativa $x$ ger negativ kvot. Att multiplicera direkt med $x$ utan falluppdelning hade kunnat ge fel riktning för halva definitionsmängden.

För en produkt eller kvot kan en teckentabell användas. Markera nollställen från täljaren och förbjudna värden från nämnaren. Mellan brytpunkterna är varje faktors tecken konstant. Multiplicera tecknen i varje intervall och välj de intervall som uppfyller olikheten.

Gränsvärden från täljaren kan ingå vid $\le$ eller $\ge$ eftersom uttrycket då blir noll. Värden som gör en nämnare noll får aldrig ingå, oavsett om tecknet är strikt eller inkluderande. Tallinjen ska därför markera dem som öppna avbrott.

Ett snabbt sätt att kontrollera teckentabellen är att välja ett enkelt provvärde i varje intervall. Du behöver inte beräkna exakt storlek, bara varje faktors tecken. Produkten eller kvotens samlade tecken avgör om intervallet ska ingå.

Skriv slutligen lösningen både med olikhetstecken och som markerad tallinje. De två representationerna ska ha samma öppna gränser, fyllda gränser och avbrott. Om de inte överensstämmer har villkoren kombinerats fel.

Om båda led är positiva kan vissa monotona operationer bevara ordningen. Kvadrering bevarar ordningen för icke negativa tal, men inte över hela reella tallinjen. Från $-3 < 2$ följer inte $9 < 4$. Kontrollera därför teckenområdet innan en olikhet kvadreras eller en rot tas.

Reciprokfunktionen vänder ordningen för positiva tal: om $0 < a < b$ är $\frac{1}{a} >\frac{1}{b}$. För negativa tal krävs lika noggrann analys, och över noll kan ingen sammanhängande jämförelse göras eftersom reciproken inte är definierad där.

I en budgetmodell kan heltalsvillkor ändra den praktiska slutsatsen. Om $n \le 6{,}4$ och $n$ är antal hela biljetter är högsta möjliga $n$ lika med 6. Om modellen i stället beskriver kilogram kan 6,4 vara ett tillåtet kontinuerligt värde.

En slutsats med parameter kan behöva villkor. Olikheten $ax < b$ kan bara divideras direkt när tecknet på $a$ är känt. För $a > 0$ blir $x <\frac{b}{a}$, för $a < 0$ blir $x >\frac{b}{a}$ och för $a = 0$ måste konstantolikheten $0 < b$ analyseras separat.