Lös ut variabler ur formler

En formel beskriver ett samband med variabler. I $A = b \cdot h$ kan $A$ vara arean av en rektangel, $b$ basen och $h$ höjden. Likhetstecknet säger att uttrycken på båda sidor har samma värde. Om $b$ och $h$ är kända beräknas $A$ direkt. Om $A$ och $b$ är kända behöver $h$ isoleras. Då skrivs samma samband som $h =\frac{A}{b}$.

Att en variabel står på vänster eller höger sida påverkar inte likheten. $A = b \cdot h$ och $b \cdot h = A$ betyder samma sak. Målet är inte att mekaniskt flytta symboler över ett likhetstecken. Målet är att använda operationer som bevarar alla lösningar. Språket flytta kan dölja teckenfel, medan frågan vilken invers tar bort den här operationen leder till en kontrollerbar metod.

Addition upphävs av subtraktion, multiplikation av division, kvadrering av kvadratrot när relevanta villkor är uppfyllda. Om $y = 3x + 5$ är den yttersta operationen kring $x$ addition av 5. Subtrahera därför 5 från båda sidor: $y - 5 = 3x$. Därefter är multiplikation med 3 ytterst, så division med 3 ger $x =\frac{y - 5}{3}$.

Ordningen är motsatsen till hur formeln beräknar ett värde. För att beräkna $3x + 5$ multiplicerar man först och adderar sedan. För att lösa ut $x$ tar man bort additionen först och multiplikationen sedan. Tänk på en knut som har bundits i flera steg och måste lösas upp i omvänd ordning. Varje mellanrad ska fortfarande vara en ekvation som är sann för samma tillåtna värden.

Om målvariabeln multipliceras med andra faktorer dividerar du båda sidor med dessa faktorer, förutsatt att de inte är noll. Från $F = m \cdot a$ får vi $a =\frac{F}{m}$ när $m \ne 0$. Om variabeln finns i nämnaren, som i $v =\frac{s}{t}$, multipliceras först båda sidor med $t$: $vt = s$. Därefter divideras med $v$ och vi får $t =\frac{s}{v}$ när $v \ne 0$.

Villkoren är en del av matematiken. En omskrivning med division kräver att divisorn inte är noll. I praktiska formler kan sammanhanget redan utesluta noll, men skriv ändå villkoret när det behövs. Om målvariabeln förekommer på flera ställen måste termerna samlas och variabeln ofta faktoriseras innan den kan isoleras.

Visa operationerna på båda sidor i samma rad. Det gör det tydligt att likheten bevaras och hindrar att en konstant byter tecken utan förklaring. Förenkla först när den gemensamma operationen är skriven.

Korsmultiplikation bör inte användas som ett fristående trick. Skriv i stället vilken multiplikation som tar bort nämnaren. Då ser du både varför steget fungerar och vilka nollvillkor som gäller.

När målvariabeln finns i flera termer ska dessa först samlas på samma sida. Därefter bryts variabeln ut som gemensam faktor. Först då finns en enda faktor som kan divideras bort.

När en kvadrat upphävs måste båda möjliga rötter beaktas om variabeln kan vara både positiv och negativ. I en geometrisk formel kan en längd däremot vara begränsad till ett icke negativt värde. Sammanhanget avgör alltså om båda tecknen är relevanta.

Om en uppgift ger en formel bör du ringa in den efterfrågade variabeln och identifiera operationerna runt den. Isolera symboliskt innan du sätter in tal när det ger en renare struktur. Det minskar antalet avrundningar och gör att du ser om ett svarsalternativ har fel form. Ibland går det snabbare att pröva alternativen i ursprungsformeln, särskilt om omskrivningen är komplicerad och alternativen är enkla.

Enheter är en kraftfull kontroll. Om du löser ut tid ur $\text{sträcka} = \text{hastighet} \cdot \text{tid}$ ska resultatets enhet bli sträcka delad med hastighet. Meter dividerat med meter per sekund ger sekunder. En formel som i stället ger meter gånger meter per sekund kan inte vara rätt. Kombinera enhetskontroll med återinsättning för ett robust facit.

Om målvariabeln ligger inuti en parentes ska yttre operationer tas bort innan parentesen öppnas, om det ger en renare väg. Från $q = \frac{a(x + b)}{c}$ multiplicerar du med $c$, dividerar med $a$ och subtraherar $b$: $x =\frac{cq}{a} - b$, där $a$ och $c$ behöver uppfylla formelns nollvillkor. Utveckling av täljaren hade varit möjlig men skapat fler termer.

När variabeln förekommer med olika koefficienter på båda sidor samlas förekomsterna först. Från $p(x - r) = qx + s$ får vi $px - pr = qx + s$ och därefter $(p - q)x = s + pr$. Om $p - q \ne 0$ blir $x =\frac{s + pr}{p - q}$. Om $p = q$ måste ekvationen analyseras som ett specialfall i stället för att divideras med noll.

En formelomskrivning kan kontrolleras symboliskt och numeriskt. Den symboliska kontrollen sätter tillbaka det nya uttrycket och förenklar exakt. Den numeriska kontrollen väljer tillåtna, enkla värden och jämför båda formerna. Den första är beviset, medan den andra snabbt kan avslöja ett tappat tecken eller en felplacerad parentes.

Om formeln innehåller en rot måste teckenvillkoren följa med. Från $y = \sqrt{x - a}$ kan kvadrering ge $y^{2} = x - a$ och $x = y^{2} + a$, men ursprungsformeln kräver $y \ge 0$ och $x \ge a$. Omskrivningen är därför inte ett fritt samband för negativa $y$.

Bokstäver i en formel kan ha olika roller. Målvariabeln är den som ska isoleras, medan övriga bokstäver fungerar som parametrar under omskrivningen. I $y = ax + b$ löses $x$ ut som $\frac{y - b}{a}$ när $a \ne 0$. Om $a = 0$ är $x$ inte längre bestämd av formeln, och fallet måste analyseras separat.

Dimensionsanalys kan göras symboliskt. Om $E = Pt$ och $E$ mäts i joule medan $P$ mäts i joule per sekund, får $t =\frac{E}{P}$ enheten joule dividerat med joule per sekund, alltså sekund. Om en omskrivning av samma formel skulle ge $t = EP$ blir enheten joule i kvadrat per sekund och avslöjar felet.

Formler med flera termer kan behöva faktorisering. Ur $A = xy + xz$ löses $x$ ut genom $A = x(y + z)$ och $x =\frac{A}{y + z}$, när $y + z \ne 0$. Att dividera varje term separat är möjligt men mindre effektivt. Den gemensamma faktorn visar vilken hel faktor som måste vara skild från noll.

Om målvariabeln finns i både täljare och nämnare kan omskrivningen leda till en ny ekvation. Från $y =\frac{x}{x + a}$ multipliceras med $x + a$: $yx + ya = x$. Samla $x$ termer: $ya = x(1 - y)$. Därför är $x = \frac{ya}{1 - y}$ när $y \ne 1$, tillsammans med ursprungsformelns villkor $x + a \ne 0$.

En formel med en rot kan lösas ut genom att först isolera roten. Från $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ divideras med $2\pi$ och därefter kvadreras båda led: $\frac{T^{2}}{4\pi ^{2}} =\frac{L}{g}$. Därifrån fås $L = \frac{gT^{2}}{4\pi^{2}}$. Eftersom huvudroten är icke negativ behöver den ursprungliga formeln dessutom tillåtna positiva eller icke negativa storheter.

Samma samband kan lösas för $g$: multiplicera $\frac{T^{2}}{4\pi ^{2}} =\frac{L}{g}$ med $g$ och lös ut $g$, vilket ger $g = 4\pi ^{2}\frac{L}{T^{2}}$ när $T \ne 0$. Enhetskontroll visar längd dividerad med tid i kvadrat, vilket är rätt dimension för en acceleration.

Om en parameter bara förekommer som gemensam faktor kan den ibland förkortas, men villkoret måste anges. Från $ka = kb$ följer $a = b$ endast när $k \ne 0$. Om $k = 0$ är ursprungslikheten sann oavsett $a$ och $b$, så en obetingad division hade förlorat ett helt fall.