Förhållandet mellan sträcka, tid och hastighet

Om en hastighet är konstant 70 kilometer per timme betyder det att 70 kilometer tillryggaläggs under varje timme. På $t$ timmar blir sträckan $s = 70t$ kilometer. Generellt skrivs $s = vt$, där $s$ är sträcka, $v$ hastighet och $t$ tid. Enheten bekräftar sambandet: kilometer per timme multiplicerat med timmar ger kilometer.

Samma formel kan skrivas om till $v =\frac{s}{t}$ och $t =\frac{s}{v}$, under relevanta nollvillkor. Det är bättre att härleda dessa former än att lita på en triangelbild. Fråga vilken storhet som söks och använd invers operation. Om sträckan delas med hastigheten blir enheten tid, vilket visar att omskrivningen är rimlig.

En timme är 60 minuter och en minut 60 sekunder. Därför är 15 minuter $\frac{15}{60} =\frac{1}{4}$ timme. Vid hastighet i kilometer per timme ska tiden uttryckas i timmar om sträckan ska bli kilometer. Decimalen 0,30 timmar betyder 18 minuter, inte 30 minuter, eftersom $0{,}30 \cdot 60 = 18$.

För att omvandla meter per sekund till kilometer per timme multiplicerar du med 3,6. En meter är 0,001 kilometer och en sekund är $\frac{1}{3600}$ timme, så $1\,\mathrm{m/s} = \frac{0{,}001}{\frac{1}{3600}}\,\mathrm{km/h} = 3{,}6\,\mathrm{km/h}$. Åt andra hållet dividerar du med 3,6. Härledningen gör det lättare att minnas riktningen.

Om en resa består av flera delar är medelhastigheten $\bar{v} =$ total sträcka/total tid. Den är inte i allmänhet det aritmetiska medelvärdet av delarnas hastigheter. Om lika lång tid tillbringas vid varje hastighet blir det aritmetiska medelvärdet rätt, men om lika långa sträckor körs väger den långsammare delen tidsmässigt tyngre.

Stillastående tid ingår i total tid om uppgiften frågar efter medelhastigheten för hela resan. Läs därför om pauser ska räknas. Skapa gärna en tabell med en rad per delsträcka och kolumner för sträcka, tid och hastighet. Summera först när alla enheter stämmer.

Skriv den sökta storheten med enhet och omvandla tiden innan tal sätts in. Då kan formeln kontrolleras dimensionellt.

Välj en omvandlingsväg som passar frågans målenhet. Ibland är det enklast att behålla meter och sekunder genom hela lösningen.

Räkna tid för varje del. Ett enkelt genomsnitt av hastigheterna skulle ge fel viktning när delsträckorna är lika men tiderna olika.

När två objekt rör sig mot varandra minskar avståndet med summan av deras fartbelopp per tidsenhet. Om de rör sig åt samma håll används i stället skillnaden när den snabbare hinner ikapp.

I en graf med tid på horisontella axeln och sträcka på vertikala är lutningen förändring i sträcka delad med förändring i tid, alltså hastighet. En brantare rak linje betyder högre konstant hastighet. En horisontell del betyder att sträckan inte ändras och objektet står still.

En krökt sträcka tid graf visar varierande hastighet. Medelhastigheten över ett intervall motsvarar sekantens lutning mellan intervallets ändpunkter. En graf som visar position kan dessutom ha negativ lutning när objektet rör sig i negativ riktning. Skillnaden mellan tillryggalagd sträcka och positionsförändring måste då beaktas.

Skriv $s, v$ och $t$ i tre kolumner för varje etapp. Fyll i kända värden och omvandla enheter innan formeln används. På så sätt blir det synligt om 20 minuter felaktigt har behandlats som 0,20 timmar. Vid mötesproblem kontrollerar du om hastigheterna ska summeras eller subtraheras genom att fråga hur avståndet mellan objekten förändras.

Använd rimlighet för att bedöma svarsalternativen. Medelhastigheten under en rörelse med positiva hastigheter ska ligga mellan den lägsta och högsta delhastigheten, men inte nödvändigtvis mitt emellan. Kontrollera en tidslösning genom att beräkna båda delsträckorna och se att de tillsammans motsvarar totalen.

Om två hastigheter $v_{1}$ och $v_{2}$ används under lika lång tid blir medelhastigheten det aritmetiska medelvärdet $\frac{v_{1} + v_{2}}{2}$. Sträckorna blir $v_{1}t$ och $v_{2}t$, medan total tid är $2t$. Kvoten $\frac{v_{1}t + v_{2}t}{2t}$ förenklas till medelvärdet.

Om hastigheterna i stället används över lika långa sträckor $d$ blir tiderna $\frac{d}{v}_{1}$ och $\frac{d}{v}_{2}$. Medelhastigheten blir $\frac{2d}{\frac{d}{v}_{1} + \frac{d}{v}_{2}} = \frac{2v_{1}v_{2}}{v_{1} + v_{2}}$, det harmoniska medelvärdet. För 60 och $120\,\mathrm{km/h}$ ger detta $80\,\mathrm{km/h}$. Formeln behöver inte memoreras om total sträcka och total tid alltid skrivs först.

Vid varierande rörelse är grafens totala förändring och totala tid viktigare än enskilda ögonblick. En period med noll hastighet ökar tiden utan att öka sträckan och sänker därför medelhastigheten. Om riktning spelar roll ska uppgiften skilja fart, tillryggalagd sträcka och positionsförändring. Läs vilken storhet som faktiskt efterfrågas.

En ikappkörning kan modelleras med två positionsfunktioner. Om den långsammare har ett försprång $d$ och hastigheterna är $v_{1}$ och $v_{2}$ med $v_{2} > v_{1}$, möts de när $v_{1}t + d = v_{2}t$. Tiden är $\frac{d}{v_{2} - v_{1}}$. Skillnaden i hastighet är alltså hur snabbt försprånget äts upp.

Vid tur och retur till samma plats är positionsförändringen noll, men tillryggalagd sträcka positiv. En fråga om medelhastighet i betydelsen total sträcka per total tid får därför ett positivt värde. En fysikalisk medelhastighetsvektor baserad på positionsförändring skulle däremot vara noll. Provets formulering och enheter visar vilken tolkning som avses.

En resa med flera etapper löses säkrast i en tabell. För varje rad fylls två av storheterna $s, v$ och $t$ i och den tredje beräknas. Pauser får en egen rad med sträcka noll. Totalraden summerar sträckor och tider men inte hastigheter.

Klockslag kräver att restid läggs till i timmar och minuter, inte som decimaler. En resa som börjar 13.45 och tar 2 timmar 35 minuter slutar 16.20. Ett byte på 25 minuter och en andra etapp på 1 timme 50 minuter ger ankomst 18.35. Skriv gärna en tidslinje för att undvika övergångsfel vid hela timmar.

Om hastigheten förändras kontinuerligt men en sträcka tid graf är given kan delsträckan ändå läsas som skillnaden i grafens höjd. Lutningen ger hastigheten på varje rak del. Total tid är hela horisontella intervallet, inklusive plana pauser.

I en avstånd tid graf för två objekt motsvarar deras möte den punkt där kurvorna har samma höjd vid samma tid. Om startpositionerna skiljer sig ska linjernas vertikala startvärden tas med. Det grafiska skärningsvillkoret är samma ekvation som i den algebraiska mötesmodellen.

En tabell kan avslöja proportionalitet. Vid konstant hastighet är kvoten sträcka/tid densamma på varje rad och grafen går genom origo om startsträckan räknas från noll. En fast startposition ger fortfarande samma lutning men grafen börjar på ett annat vertikalt värde.

Om restiden ska minskas med en viss andel måste hastigheten inte öka med samma andel för en fast sträcka. Tiden är $\frac{s}{v}$. En fördubblad hastighet halverar tiden, medan 20 procents högre hastighet ger tiden dividerad med 1,2, alltså fem sjättedelar av den gamla.

Vid en försening kan den nödvändiga nya hastigheten beräknas från återstående sträcka och återstående tid. Den tidigare hastigheten är bara relevant för att bestämma hur långt som redan färdats. Dela därför resan vid förändringstidpunkten och bygg en ny rad i tabellen.