Konjugatregeln och kvadreringsreglerna

Första kvadreringsregeln är $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$. Andra är $(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$. Konjugatregeln är $(a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2}$. Tecknet på mittentermen skiljer kvadreringsreglerna åt, medan konjugatprodukten saknar mittenterm eftersom $+ab$ och $-ab$ tar ut varandra.

Reglerna ska läsas strukturellt. Termerna $a$ och $b$ kan själva vara tal, variabler eller större uttryck. Om $a = 2x$ och $b = 3$ blir $(2x + 3)^{2} = (2x)^{2} + 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^{2} = 4x^{2} + 12x + 9$. Parentes kring varje del hjälper till att bevara koefficienter och exponenter.

En kvadrat med sidan $a + b$ kan delas i en kvadrat med area $a^{2}$, en med area $b^{2}$ och två rektanglar med area $ab$ vardera. Total area blir $a^{2} + ab + ab + b^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$. Mittentermen är alltså inte ett tillägg att memorera utan summan av två lika rektanglar.

Konjugatregeln kan härledas direkt med distribution: $(a + b)(a - b) = a^{2} - ab + ab - b^{2} = a^{2} - b^{2}$. De motsatta blandtermerna försvinner. Geometriskt kan en kvadratskillnad omformas till en rektangel med sidor $a + b$ och $a - b$ när $a \ge b \ge 0$.

Uttrycket $x^{2} + 10x + 25$ har första och sista term som kvadrater, $x^{2}$ och $5^{2}$. Mittentermen är $2 \cdot x \cdot 5 = 10x$. Därför är uttrycket en perfekt kvadrat och faktoriseras som $(x + 5)^{2}$. Alla tre villkor måste stämma.

Uttrycket $9y^{2} - 16$ är en differens av kvadrater: $(3y)^{2} - 4^{2}$. Konjugatregeln ger $(3y - 4)(3y + 4)$. En summa av kvadrater, som $9y^{2} + 16$, kan inte faktoriseras med denna regel över de reella talen.

Identifiera $a$ och $b$ innan regeln används. Kvadrera varje del och beräkna den dubbla produkten separat.

Sista termen blir positiv eftersom $b^{2}$ är positivt även när termen i parentesen subtraheras. Endast mittentermen får negativt tecken.

Kontrollera att de två parenteserna har identiska termer men motsatta tecken mellan dem. Då försvinner blandtermerna.

Konjugatregeln är särskilt effektiv för produkter nära ett runt tal. Skriv faktorerna som samma centrum plus och minus samma avvikelse.

Parentesen $(a - b)^{2}$ betyder att samma differens multipliceras med sig själv. Produkten $(a - b)(a + b)$ använder två olika konjugerade parenteser. Den första får en mittenterm och positiv sista kvadratterm. Den andra får ingen mittenterm och negativ sista kvadratterm.

Om mönstret är osäkert är distributiva lagen alltid en säker reserv. Regeln är bara en genväg, inte en ny typ av matematik. Utveckla åtminstone mentalt de fyra delprodukterna och kontrollera mittentermernas tecken innan du väljer svar.

Vid numerisk huvudräkning ska du leta efter två faktorer lika långt från ett runt tal. Produkter som $48 \cdot 52$ eller $995 \cdot 1005$ kan då behandlas som kvadratskillnader. Vid algebraiska svarsalternativ kan första term, sista term och mittenterm jämföras separat utan full utveckling.

När ett andragradsuttryck ska faktoriseras kontrollerar du först gemensam faktor och sedan om det är en perfekt kvadrat eller kvadratskillnad. Verifiera alltid genom utveckling. Ett enkelt insättningsvärde kan dessutom avslöja ett teckenfel snabbt, men den fullständiga identiteten visas av distributionen.

Kvadreringsreglerna kan användas för kvadratkomplettering. I $x^{2} + 6x$ saknas den sista termen i $(x + 3)^{2} = x^{2} + 6x + 9$. Därför är $x^{2} + 6x = (x + 3)^{2} - 9$. Man adderar och subtraherar samma tal, så uttryckets värde bevaras.

Generellt blir $x^{2} + px = (x + \frac{p}{2})^{2} - (\frac{p}{2})^{2}$. Hälften av $x$ koefficienten placeras i parentesen. Metoden kan visa ett andragradsuttrycks minsta eller största värde. Eftersom $(x + 3)^{2} \ge 0$ är $x^{2} + 6x + 5 = (x + 3)^{2} - 4$ minst $-4$, vilket inträffar när $x = -3$.

Med en koefficient framför $x^{2}$ bryts den ofta ut först. Uttrycket $2x^{2} + 8x + 1$ blir $2(x^{2} + 4x) + 1 = 2[(x + 2)^{2} - 4] + 1 = 2(x + 2)^{2} - 7$. Utveckling återger $2x^{2} + 8x + 1$ och fungerar som kontroll.

Perfekta kvadrater kan identifieras via diskriminantliknande struktur utan en full formel. Om första och sista termerna är $A^{2}$ och $B^{2}$ och mittentermen är $\pm 2AB$, är trinomet $(A \pm B)^{2}$. Om mittentermen inte matchar exakt är uttrycket inte denna perfekta kvadrat, även om yttertermerna gör det.

Konjugat kan också rationalisera en nämnare. Produkten $(a + b)(a - b)$ eliminerar blandtermer och ger $a^{2} - b^{2}$. För $\frac{1}{3 + \sqrt{2}}$ multipliceras täljare och nämnare med $3 - \sqrt{2}$. Nämnaren blir $9 - 2 = 7$ och resultatet $\frac{3 - \sqrt{2}}{7}$.

Reglerna kan kombineras med en gemensam faktor. Uttrycket $2x^{2} + 8x + 8$ har faktorn 2 och blir $2(x^{2} + 4x + 4) = 2(x + 2)^{2}$. Om den gemensamma faktorn inte bryts ut först kan den perfekta kvadraten vara svårare att se.

Skillnaden mellan $(a + b)^{2}$ och $(a - b)^{2}$ är $4ab$. Det följer genom subtraktion av utvecklingarna: $a^{2} + 2ab + b^{2} - (a^{2} - 2ab + b^{2}) = 4ab$. Sambandet kan användas som en snabb kontroll när två liknande uttryck jämförs.

Summan av samma två kvadrater är $2a^{2} + 2b^{2}$. Mittentermerna tar ut varandra i $(a + b)^{2} + (a - b)^{2}$. Sådana symmetrier visar att reglerna inte bara är tekniker för utveckling utan verktyg för att förenkla kombinationer av uttryck.

Om summan $a + b$ och produkten $ab$ är kända kan $a^{2} + b^{2}$ bestämmas utan att $a$ och $b$ löses var för sig. Kvadrera summan: $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$. Därför är $a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2ab$. Om summan är 10 och produkten 21 blir värdet $100 - 42 = 58$.

På motsvarande sätt är $(a - b)^{2} = (a + b)^{2} - 4ab$. Med samma uppgifter fås differensens kvadrat $100 - 84 = 16$ och $\lvert a - b \rvert = 4$. Roten ger absolutbelopp eftersom ordningen mellan $a$ och $b$ inte är bestämd.

Konjugatregeln kan lösa produkter med känd summa och differens. Om $p + q = 14$ och $p - q = 6$ är produkten $(p + q)(p - q) = p^{2} - q^{2} = 84$. Ingen separat lösning för $p$ och $q$ krävs om just kvadratskillnaden efterfrågas.

Identiteterna kan också kontrollera numeriska kvadrater. $49^{2} = (50 - 1)^{2} = 2500 - 100 + 1 = 2401$. Talet $1001 \cdot 999$ blir $(1000 + 1)(1000 - 1) = 999999$. Välj centrum så att kvadraten blir enkel.

När variabler har enheter måste termerna i identiteten vara jämförbara. Om $a$ och $b$ är längder har $a^{2}, 2ab$ och $b^{2}$ areaenhet. Regeln bevarar dimensionen i varje term, vilket ger ytterligare en kontroll av en korrekt uppställning.

Ett uttryck kan ibland förenklas genom att både summa och differens används. Produkten $(x + y + z)(x + y - z)$ behandlar $x + y$ som en enda del $A$ och $z$ som $B$. Konjugatregeln ger då $(x + y)^{2} - z^{2}$, som vid behov utvecklas vidare till $x^{2} + 2xy + y^{2} - z^{2}$.

Samma blocktänkande fungerar med tal. Produkten $1004 \cdot 996$ har centrum 1000 och avvikelse 4, så värdet är $1000^{2} - 4^{2} = 999984$. Det är viktigt att båda faktorerna ligger exakt lika långt från centrum innan genvägen används.

En skillnad mellan två kvadrater kan upprepas. Uttrycket $x^{4} - 16$ är $(x^{2})^{2} - 4^{2}$ och blir $(x^{2} - 4)(x^{2} + 4)$. Den första faktorn är i sin tur $(x - 2)(x + 2)$. Över reella tal är slutformen $(x - 2)(x + 2)(x^{2} + 4)$.

En perfekt kvadrat är alltid icke negativ för reella variabler. Därför är $x^{2} + 6x + 9 = (x + 3)^{2} \ge 0$. Ekvationen $(x + 3)^{2} = 0$ har den enda lösningen $x = -3$, medan $(x + 3)^{2} = 4$ ger $x + 3 = \pm 2$ och två kandidater.

Kvadratkomplettering kan jämföra två uttryck utan derivata. Skillnaden $x^{2} - 4x + 7 = (x - 2)^{2} + 3$ är minst 3. Om ett svarsalternativ påstår att uttrycket kan bli 1 är det omöjligt över reella $x$.

Vid lösning av $x^{2} - 10x + 21 = 0$ kan uttrycket faktoriseras som $(x - 3)(x - 7)$, men kvadratkomplettering ger också $(x - 5)^{2} = 4$ och $x = 5 \pm 2$. De två metoderna ger samma lösningar och kontrollerar varandra. Återinsättning i ursprungsekvationen verifierar båda värdena.