Potenser avancerat

För $a \ne 0$ är $\frac{a^{m}}{a^{m}} = 1$. Kvotlagen skriver samma uttryck som $a^{m-m} = a^{0}$. Därför måste $a^{0} = 1$ för att lagen ska fortsätta gälla. Uttrycket $0^{0}$ lämnas odefinierat i den elementära algebra som används här och ska inte ersättas med 1 genom samma argument, eftersom kvoten skulle ha nämnaren noll.

En hel parentes med exponent noll blir 1 om parentesens värde inte är noll. Exempelvis är $(3x - 6)^{0} = 1$ när $x \ne 2$. Villkoret är viktigt: vid $x = 2$ blir basen noll. Identifiera alltså hela basen före tillämpningen.

Kvotlagen ger $\frac{a^{2}}{a^{5}} = a^{2-5} = a^{-3}$. Genom vanlig förkortning är samma kvot $\frac{1}{a^{3}}$. Därför betyder $a^{-3} =\frac{1}{a^{3}}$ när $a \ne 0$. Minustecknet hör till exponenten och anger att potensfaktorn flyttas mellan täljare och nämnare som reciprok. Det säger inget om potensens tecken.

Exempelvis är $2^{-4} =\frac{1}{2^{4}} =\frac{1}{16}$, ett positivt tal. Däremot är $-2^{-4} = \frac{-1}{16}$ eftersom minustecknet står utanför potensens bas. Med parentes är $(-2)^{-4} =\frac{1}{-2}^{4} =\frac{1}{16}$. Notationen måste läsas före beräkningen.

För positiva reella $a$ definieras $a^{\frac{1}{n}}$ som den $n$: te roten ur $a$. Mer generellt är $a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^{m} = \sqrt[n]{a^{m}}$. För jämn $n$ krävs $a \ge 0$ om resultatet ska vara reellt. För udda $n$ kan negativa baser ha reella rötter, men parenteser och förenklingsregler måste användas noggrant.

Ordningen kan väljas efter vilken väg som är enklast. $64^{\frac{2}{3}}$ kan beräknas som $(\sqrt[3]{64})^{2} = 4^{2} = 16$. Att först beräkna $64^{2}$ och sedan ta kubikroten fungerar också men ger större mellanvärden. Förkortning av exponentbråket kan vara giltig under passande villkor, men basens tecken och rotens grad ska alltid kontrolleras.

Ett tal i vetenskaplig notation skrivs $a \cdot 10^{n}$ där $1 \le \lvert a \rvert < 10$ och $n$ är ett heltal. Talet 4 700 000 skrivs $4{,}7 \cdot 10^{6}$, medan 0,00032 skrivs $3{,}2 \cdot 10^{-4}$. Exponentens tecken anger åt vilket håll decimaltecknet flyttas när standardformen återställs.

Vid multiplikation multipliceras talfaktorerna och tiopotensernas exponenter adderas. Vid division divideras talfaktorerna och exponenterna subtraheras. Normalisera därefter så att första faktorns absolutbelopp ligger mellan 1 och 10. Vid addition måste tiopotenserna först göras lika.

Slutformen skrivs ofta med positiva exponenter. Flytta en potensfaktor över bråkstrecket genom att byta exponentens tecken, men flytta inte summor termvis.

Välj först roten om den ger ett heltal. Då hålls mellanvärdena små och beräkningen kan göras exakt.

Räkna talfaktorer och tiopotenser separat. Om talfaktorn hamnar utanför normalintervallet flyttas decimaltecknet och exponenten justeras.

När samma positiva bas större än 1 används blir större exponent större värde. För bas mellan 0 och 1 är ordningen omvänd, eftersom ökande exponent multiplicerar med ytterligare en faktor mindre än 1.

För bas $a > 1$ växer $a^{x}$ när exponenten ökar. För $0 < a < 1$ minskar värdet. Basen 1 ger alltid 1, och basen 0 kräver särskild försiktighet för exponenter som är noll eller negativa. Negativa baser med heltalsexponent växlar tecken beroende på exponentens paritet.

Rationella exponenter på negativa baser kan vara reella när roten har udda grad, men vanliga räkneregler kan få oväntade begränsningar. I den här kursnivån är det säkrast att uttryckligen kontrollera rotens grad och använda parentes kring hela basen. Anta inte att alla potenslagar får tillämpas fritt på odefinierade reella uttryck.

Skriv om alla uttryck till gemensam bas när potenser ska jämföras. $8^{4}$ och $4^{6}$ blir $2^{12}$ respektive $2^{12}$ och är därför lika utan att stora tal behöver beräknas. Negativa exponenter flyttas till reciproker och rationella exponenter kan omvandlas till lämpliga rötter.

I vetenskaplig notation bör du uppskatta exponentens storleksordning före talfaktorn. Det upptäcker om normaliseringen gick åt fel håll. Kontrollera även om frågan kräver exakt värde eller bara jämförelse. Exponentreglerna ska minska beräkningen, inte skapa stora mellanresultat.

Många potensjämförelser blir enkla med gemensam bas. Talen 16, 8, 4 och 2 är alla potenser av 2. Därför kan $16^{3} \cdot \frac{8^{2}}{4^{4}}$ skrivas $2^{12} \cdot \frac{2^{6}}{2^{8}} = 2^{10}$. Ingen stor heltalsprodukt behöver beräknas.

En bas mellan noll och ett kan skrivas som reciprok av en bas större än ett. Uttrycket $(\frac{1}{3})^{-4}$ blir $3^{4}$. Om två sådana potenser jämförs ska både bas och exponent normaliseras innan slutsatsen dras. Negativ exponent och bråkbas kan annars ge två samtidiga vändningar.

För rationella exponenter kan samma tal ha flera korrekta former. $32^{\frac{2}{5}} = (\sqrt[5]{32})^{2} = 2^{2} = 4$. Formen $\sqrt[n]{a^{m}}$ är användbar när $a^{m}$ får en tydlig rot, medan $(\sqrt[n]{a})^{m}$ är bättre när roten ur $a$ är enkel. Välj vägen med minst mellanvärden.

Om basen är ett uttryck gäller alla villkor för hela uttrycket. Potensen $(x - 1)^{-2}$ kräver $x \ne 1$ och betyder $\frac{1}{x - 1}^{2}$. Exponenten gör inte att den förbjudna nollpunkten försvinner. Skriv villkoret innan uttrycket kombineras med andra potenser.

Vid addition i vetenskaplig notation måste exponenterna matcha. Summan $3{,}2 \cdot 10^{5} + 4{,}7 \cdot 10^{4}$ skrivs $3{,}2 \cdot 10^{5} + 0{,}47 \cdot 10^{5} = 3{,}67 \cdot 10^{5}$. Att bara addera 3,2 och 4,7 skulle behandla tiopotenserna som lika trots att den första termen är tio gånger större per koefficientenhet.

Storleksordning kan kontrolleras med exponenten. Produkten av ungefär $10^{6}$ och $10^{-2}$ bör ligga kring $10^{4}$. Om den normaliserade beräkningen ger $10^{8}$ har exponenterna sannolikt adderats med fel tecken. Gör denna prognos innan den exakta talfaktorn räknas.

Om en storhet multipliceras med samma faktor $r$ i varje steg bildas en geometrisk följd. Startvärdet $A_{0}$ blir efter $n$ steg $A_{n} = A_{0}r^{n}$. Faktoren $r = 1{,}05$ motsvarar en ökning med 5 procent per steg, medan $r = 0{,}8$ motsvarar att 80 procent återstår.

Två på varandra följande värden i en sådan modell har kvoten $r$. Om värdena är 150 och 180 är faktorn $\frac{180}{150} = 1{,}2$, alltså 20 procents ökning. En konstant differens hade i stället beskrivit en linjär förändring. Skilj kvotmönster från differensmönster.

En negativ exponent kan beskriva hur många steg bakåt man går. Om $A_{n} = A_{0} \cdot 2^{n}$, så är $A_{-1} = \frac{A_{0}}{2}$ och $A_{-2} = \frac{A_{0}}{4}$. Reciprokregeln gör modellen konsekvent på båda sidor om steg noll.

Skalning i geometri kopplar exponent till dimension. Om alla längder multipliceras med $k$ blir area $k^{2}$ gånger större och volym $k^{3}$ gånger större. Om en kubs sida fördubblas blir volymen $2^{3} = 8$ gånger större. Exponenten räknar hur många oberoende längdfaktorer som ingår.

Vid jämförelse av exponentiella modeller behöver baser och exponenter analyseras tillsammans. En större bas ger inte alltid större värde om exponenterna skiljer sig. Skriv om till gemensam bas, beräkna en kvot eller använd rimliga gränser i stället för att anta ordningen från basen ensam.

Upprepad procentuell förändring ska inte adderas när varje steg verkar på ett nytt värde. Två ökningar med 10 procent ger faktorn $1{,}1^{2} = 1{,}21$, alltså 21 procent totalt. En ökning med 10 procent följd av en minskning med 10 procent ger $1{,}1 \cdot 0{,}9 = 0{,}99$ och slutar 1 procent under startvärdet.

Halvering kan skrivas med basen $\frac{1}{2}$. Efter $n$ lika perioder återstår $A_{0}(\frac{1}{2})^{n}$. En negativ exponent motsvarar att gå bakåt i perioderna och ger ett större tidigare värde. Modellen förutsätter att samma faktor verkligen gäller varje period.

Vid beräkning med rationella exponenter ska ett exakt rotvärde sökas före decimalapproximation. $125^{\frac{2}{3}}$ blir $(\sqrt[3]{125})^{2} = 25$. Om basen inte är en perfekt relevant potens kan resultatet lämnas som rot eller uppskattas mellan kända potenser beroende på svarsalternativen.

Skriv parentes kring en negativ bas i en geometrisk följd. Faktoren $-2$ gör att tecknet växlar för varje heltalssteg medan absolutbeloppet fördubblas. Utan parentes betyder $-2^{n}$ i stället det negativa av den positiva potensen $2^{n}$.