Faktorisering

Distributiva lagen säger $a(b + c) = ab + ac$. Faktorisering använder samma likhet åt andra hållet: $ab + ac = a(b + c)$. Den gemensamma faktorn $a$ bryts ut. Inget försvinner. Varje ursprunglig term divideras med faktorn och resultatet placeras i parentesen. Uttrycken på båda sidor har samma värde för alla tillåtna variabelvärden.

Produktform visar egenskaper som är dolda i en summa. I $6x + 9$ syns inte omedelbart att båda termerna är delbara med 3, men $3(2x + 3)$ gör det tydligt. Fullständig faktorisering innebär vanligen att största möjliga gemensamma faktor har brutits ut och att eventuella kända mönster därefter har använts tills faktorerna inte kan delas vidare inom det aktuella talområdet.

Börja med koefficienterna. Den största gemensamma delaren till 18 och 30 är 6. Jämför sedan variablerna. I $18x^{3}y^{2}$ och $30x^{2}y^{4}$ är den gemensamma variabeldelen $x^{2}y^{2}$, eftersom den lägsta exponenten för $x$ är 2 och för $y$ är 2. Största gemensamma faktor är därför $6x^{2}y^{2}$.

När första termen är negativ kan det vara klokt att bryta ut en negativ faktor så att parentesens första term blir positiv. Uttrycket $-4x^{2} + 12x$ kan skrivas $-4x(x - 3)$. Det kan även skrivas $4x(-x + 3)$, men den första formen är ofta lättare att läsa och använda. Båda är matematiskt korrekta.

Efter att en gemensam faktor brutits ut kan parentesen ibland faktoriseras vidare. Differensen av två kvadrater följer $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$. Ett andragradsuttryck $x^{2} + px + q$ kan ibland skrivas $(x + r)(x + s)$, där $r + s = p$ och rs $= q$. Mönstren ska alltid kontrolleras genom multiplikation.

Ordningen spelar roll. I $3x^{2} - 27$ ska 3 först brytas ut: $3(x^{2} - 9)$. Därefter används kvadratskillnaden: $3(x - 3)(x + 3)$. Om man stannar efter första steget är uttrycket faktoriserat men inte fullständigt. Om man försöker skriva $x^{2} + 9$ som $(x - 3)(x + 3)$ får man däremot $x^{2} - 9$ och har bytt tecken.

Skriv gärna varje term som den gemensamma faktorn gånger det som ska stå kvar. Då blir parentesens innehåll direkt synligt och risken för fel exponent minskar.

Kontrollera att du verkligen har en differens och att båda delarna är kvadrater. Summan av två kvadrater följer inte samma regel över de reella talen.

För ett uttryck $x^{2} + px + q$ söker du två tal vars summa är $p$ och produkt är $q$. Tecknen kan förutsägas: positiv produkt betyder samma tecken, negativ produkt betyder olika tecken.

I ett bråk får faktorer förkortas, men enskilda termer får inte strykas genom addition eller subtraktion. Faktorisera därför täljare och nämnare först och ange förbjudna värden från ursprungsnämnaren.

Om en produkt är noll måste minst en faktor vara noll. Därför ger $(x - 2)(x + 5) = 0$ lösningarna $x = 2$ eller $x = -5$. Regeln gäller inte en summa. Från $a + b = 0$ följer inte att $a$ eller $b$ måste vara noll. Faktoriseringen är alltså steget som omvandlar en svår ekvation till flera enkla.

Kontrollera varje lösning i ursprungsekvationen, särskilt om du har dividerat med ett uttryck eller arbetat med ett bråk. En lösning som gör en ursprungsnämnare noll är inte tillåten, även om den dyker upp i en senare faktoriserad form.

Många uttryck blir längre om du omedelbart multiplicerar ut allt. Innan du utvecklar parenteser bör du leta efter en gemensam faktor, en kvadratskillnad eller en produkt som kan jämföras direkt. I en jämförelse kan en gemensam positiv faktor ibland ignoreras när båda sidor jämförs, medan en negativ faktor skulle vända olikhetens riktning.

Vid huvudräkning kan faktorisering skapa runda tal. Produkten $37 \cdot 18 + 37 \cdot 2$ blir $37(18 + 2) = 740$. Vid algebraiska bråk är ordningen alltid faktorisera, ange villkor, förkorta faktorer och kontrollera. Utveckla slutformen för att verifiera att inget tecken eller någon exponent har ändrats.

Fyra termer kan ibland grupperas i två par med samma binomfaktor. Uttrycket $ax + ay + bx + by$ grupperas som $a(x + y) + b(x + y)$. Den gemensamma faktorn $x + y$ kan sedan brytas ut: $(a + b)(x + y)$. Kontrollera alltid att grupperingen verkligen skapar identiska parenteser.

Om tecknen först inte matchar kan en negativ faktor behöva brytas ut. I $x^{2} - 3x - 2x + 6$ ger gruppering $x(x - 3) - 2(x - 3)$, vilket blir $(x - 2)(x - 3)$. Minustecknet före 2 är nödvändigt för att den andra parentesen ska bli $x - 3$ och inte $x + 3$.

Faktorisering kan även visa ett uttrycks nollställen och tecken. Produkten $(x - 2)(x + 1)$ är noll vid $x = 2$ och $x = -1$. Mellan och utanför dessa punkter kan faktorernas tecken analyseras utan full multiplikation. Den strukturen blir senare central för andragradsolikheter och funktionsgrafer.

En gemensam faktor behöver inte vara en ensam variabel. I $(x + 2)(x - 5) + 3(x + 2)$ är hela binomet $x + 2$ gemensamt. Utbrytning ger $(x + 2)[(x - 5) + 3] = (x + 2)(x - 2)$. Behandla parentesen som ett sammanhållet objekt och kontrollera genom att distribuera tillbaka.

Om flera faktoriseringar verkar möjliga är de inte nödvändigtvis olika svar. Formen $-(2 - x)(x + 3)$ är exempelvis samma som $(x - 2)(x + 3)$, eftersom $-(2 - x) = x - 2$. Normalisera tecknet och faktorordningen innan alternativ jämförs.

En faktoriserad form kan ge snabb värdeberäkning nära ett nollställe. Om $f(x) = x^{2} - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$, blir $f(2{,}1)$ produkten $0{,}1 \cdot (-0{,}9)$, så tecken och ungefärlig storlek syns direkt. Den utvecklade formen döljer denna lokala struktur.

När koefficienten framför $x^{2}$ inte är 1 kan systematisk uppdelning av mittentermen användas, men endast om produkten och summan kontrolleras. För $2x^{2} + 7x + 3$ söks två tal med produkt 6 och summa 7. Talen 6 och 1 ger $2x^{2} + 6x + x + 3 = 2x(x + 3) + 1(x + 3) = (2x + 1)(x + 3)$.

Kontrollera först om samtliga termer har en gemensam numerisk eller algebraisk faktor. Det steget ska alltid göras före specialmönster. Uttrycket $6x^{3} - 24x$ har faktorn $6x$ och blir $6x(x^{2} - 4)$. Först därefter syns kvadratskillnaden och slutformen $6x(x - 2)(x + 2)$.

Om ingen gemensam faktor finns, räkna antalet termer. Två termer kan ge kvadratskillnad eller andra potensskillnader. Tre termer kan vara en perfekt kvadrat eller ett andragradstrinom. Fyra termer kan passa gruppering. Klassificeringen är en sökordning, inte en garanti, och varje kandidat måste utvecklas som kontroll.

Över olika talområden kan ett uttryck vara olika långt faktoriserbart. $x^{2} + 1$ kan inte faktoriseras i linjära faktorer över de reella talen men kan det över komplexa tal. För högskoleprovets grundläggande algebra arbetar du normalt med reella tal om inget annat anges.

En faktorisering är fullständig när ingen faktor kan delas vidare med de metoder och inom det talområde som används. Skriv gärna faktorer i en konsekvent ordning och med positiv ledande term. Då blir jämförelsen mot alternativa former enklare och onödiga teckenskillnader försvinner.

Nollställena kan användas för att återbygga en faktoriserad form. Om ett andragradspolynom har nollställena 2 och $-3$ måste det ha faktorerna $x - 2$ och $x + 3$. En ledande koefficient $k$ ger formen $k(x - 2)(x + 3)$. Ett ytterligare känt funktionsvärde kan bestämma $k$.

Faktorsatsen säger att $x - a$ är en faktor i ett polynom $P(x)$ om och endast om $P(a) = 0$. För $P(x) = x^{3} - 4x^{2} + x + 6$ ger $P(2) = 8 - 16 + 2 + 6 = 0$, så $x - 2$ är en faktor. Därefter kan fortsatt faktorisering göras med gruppering eller polynomdivision på högre nivå.

Vid numeriska produkter kan gemensam faktor kombineras med avrundade tal. $48 \cdot 37 + 52 \cdot 37 = (48 + 52) \cdot 37 = 3700$. Den gemensamma faktorn gör att två multiplikationer ersätts av en enkel summa och en rund produkt.