Algebraiska uttryck

I uttrycket $4x^{2} - 3x + 7$ är $4x^{2}, -3x$ och 7 termer. Termer skiljs åt av addition eller subtraktion på uttryckets översta nivå. I termen $4x^{2}$ är 4 en numerisk koefficient och $x^{2}$ en variabelfaktor. I $-3x$ hör minustecknet till koefficienten $-3$. Konstanttermen 7 saknar variabel men är fortfarande en term.

Faktorer multipliceras. Uttrycket $6ab$ betyder $6 \cdot a \cdot b$. En exponent anger upprepad multiplikation av samma bas, så $x^{3} = x \cdot x \cdot x$. Ett uttryck har inget sanningsvärde och inget enskilt lösningsvärde innan variablerna bestämts. En ekvation innehåller däremot ett likhetstecken och påstår att två uttryck är lika för vissa eller alla tillåtna värden.

Likformiga termer har samma variabeldel med samma exponenter. Därför kan $5x$ och $-2x$ slås ihop till $3x$, eftersom fem exemplar av $x$ minus två exemplar av $x$ lämnar tre exemplar. Däremot kan $x$ och $x^{2}$ inte slås ihop. De beskriver olika storheter på samma sätt som fem meter och två kvadratmeter inte kan summeras till sju av en gemensam enhet.

När flera variabler finns måste hela variabeldelen stämma. Termerna $3ab^{2}$ och $-5ab^{2}$ är likformiga, men $3a^{2}b$ och $3ab^{2}$ är det inte. Ordningen mellan faktorer spelar ingen roll i vanlig multiplikation, så $2xy$ och $7yx$ är likformiga eftersom $xy = yx$. Sortera gärna variabler och exponenter i en konsekvent ordning innan du jämför.

Algebra blir kraftfull när en situation kan uttryckas generellt. Om en biljett kostar $p$ kronor och en fast avgift är 35 kronor blir kostnaden för $n$ biljetter np $+ 35$. Om ett tal är $x$ är talet som är fem större $x + 5$, medan fem gånger talet är $5x$. Orden större än och gånger måste alltså skiljas noggrant.

Ordningen i en subtraktion är särskilt viktig. Sju mindre än $x$ betyder $x - 7$, inte $7 - x$. Summan av två på varandra följande heltal kan skrivas $n + (n + 1)$. Ett jämnt heltal kan skrivas $2k$ och ett udda $2k + 1$ för något heltal $k$. Kontrollera översättningen med ett enkelt provvärde innan du går vidare.

Markera varje term tillsammans med sitt tecken. Gruppera sedan termer med identisk variabeldel. Konstanttermer samlas för sig. Inga exponenter ändras när termer adderas.

När en variabel ersätts med ett negativt tal ska värdet stå inom parentes. Då framgår om exponenten eller multiplikationen verkar på hela det negativa talet. Följ därefter prioriteringsreglerna.

Definiera variabeln med enhet innan du skriver uttrycket. Varje term ska sedan kunna tolkas i samma enhet om de ska adderas. Den kontrollen fångar många felöversättningar.

Två uttryck kan se olika ut men vara ekvivalenta. Förenkling eller test med flera värden kan ge en indikation, men en algebraisk omskrivning krävs för att visa identitet för alla tillåtna värden. Ett enda provvärde kan däremot motbevisa att två uttryck alltid är lika.

Alla variabelvärden är inte alltid tillåtna. I uttrycket $\frac{5}{x - 2}$ får $x$ inte vara 2, eftersom nämnaren då blir noll. I ett uttryck med en vanlig kvadratrot måste radikanden vara icke negativ om vi arbetar med reella tal. För $\sqrt{x + 4}$ krävs därför $x \ge -4$.

En förenkling kan dölja ett ursprungligt villkor. Uttrycket $\frac{x^{2} - 4}{x - 2}$ kan faktoriseras till $(x - 2)\frac{x + 2}{x - 2}$ och förenklas till $x + 2$, men bara när $x \ne 2$. Ursprungsvärdet vid $x = 2$ är fortfarande inte definierat. Skriv villkoret före förkortningen och låt det följa med.

Om en uppgift ger ett långt uttryck och flera variabelvärden kan det löna sig att samla termer eller faktorisera innan insättning. Då görs färre multiplikationer och teckenrisken minskar. Om alternativen däremot är enkla tal kan direkt insättning vara snabbast. Välj metod efter uttryckets struktur, inte av vana.

I jämförelseuppgifter bör du leta efter gemensamma delar som kan strykas från båda kvantiteterna utan att beräkna allt. Kontrollera samtidigt definitionsvillkor och sätt alltid parentes kring negativa insättningsvärden. Ett snabbt provvärde kan avslöja ett fel, men använd algebra när uppgiften kräver ett generellt samband.

En identitet är en likhet som gäller för alla värden i en angiven definitionsmängd. Exempelvis är $2(x + 3) = 2x + 6$ en identitet eftersom distributiva lagen omvandlar vänsterledet exakt till högerledet. Likheten $x^{2} = x$ är däremot bara sann för $x = 0$ och $x = 1$ och är därför en ekvation med två lösningar, inte en identitet.

För att motbevisa ett påstående om alla $x$ räcker ett enda tillåtet motexempel. Påståendet $(x + 1)^{2} = x^{2} + 1$ faller redan för $x = 1$, eftersom vänsterledet är 4 och högerledet 2. För att bevisa att två uttryck alltid är lika räcker däremot inte många provvärden. Då krävs en giltig algebraisk härledning.

Variabler kan också bära villkor från sammanhanget. Om $n$ står för antal deltagare är negativa värden och ofta icke heltal otillåtna, även om själva uttrycket kan beräknas där. Skilj därför den algebraiska definitionsmängden från modellens praktiska värdemängd. Den distinktionen hjälper när ett svar ska tolkas, inte bara räknas fram.

Ett uttrycks värde kan analyseras utan full insättning. Om $x$ är positivt är $x^{2}$ också positivt, men $-x^{2}$ är negativt eller noll. Om $\lvert x \rvert < 1$ blir $x^{2}$ mindre än $\lvert x \rvert$. Sådana tecken och storleksargument kan avgöra en jämförelse snabbare än beräkning och visar samtidigt vilka antaganden om variabeln som behövs.

Ett polynom i $x$ består av termer med icke negativa heltalsexponenter. Graden är den högsta exponenten med koefficient skild från noll. I $4x^{3} - 2x + 7$ är graden 3 och den ledande termen $4x^{3}$. Den informationen hjälper dig förutsäga resultatet av addition och multiplikation.

När två polynom adderas blir graden högst den största av deras grader, men de ledande termerna kan ta ut varandra. Produkten av två icke noll polynom får graden som summan av graderna. Därför ska produkten av ett andragradsuttryck och ett tredjegradsuttryck få grad fem.

Standardform ordnar termer efter fallande exponent och samlar likformiga termer. Formen $3 - 2x^{2} + 5x + 4x^{2}$ skrivs $2x^{2} + 5x + 3$. Standardformen gör grad, ledande koefficient och konstantterm synliga och underlättar jämförelse mot svarsalternativ.

En parameter kan få graden att ändras. Uttrycket $ax^{2} + bx + c$ är normalt av grad två, men om $a = 0$ och $b \ne 0$ blir graden ett. Om både $a$ och $b$ är noll återstår en konstant. Ange därför villkor när generella påståenden om grad eller antal lösningar görs.

Värdet av ett polynom kan beräknas med grupperad multiplikation. Uttrycket $2x^{3} - 3x^{2} + 4x - 5$ kan skrivas $((2x - 3)x + 4)x - 5$. För ett givet $x$ minskar det antalet separata potensberäkningar och ger samma värde genom upprepad användning av distributiva lagen.

Koefficienter kan bestämmas genom jämförelse av standardformer. Om $ax + b$ är identiskt med $3x - 7$ för alla $x$ måste $a = 3$ och $b = -7$. Välj annars två olika $x$ värden för att se att en annan koefficient skulle skapa olika förändring eller ett annat startvärde.

I en modell ska varje term ha samma enhet. Om $C = 12n + 40$ beskriver kronor har koefficienten 12 enheten kronor per enhet, $n$ är ett antal och konstanten 40 kronor. En term med minuter skulle inte kunna adderas utan en omvandling eller ytterligare samband.