Effektiv multiplikation

I produkten $a$ gånger $b$ kallas $a$ och $b$ faktorer och resultatet produkt. Multiplikation är kommutativ, så faktorerna får byta plats. Den är associativ, så flera faktorer får grupperas om. Därför kan 25 gånger 17 gånger 4 räknas som 25 gånger 4 gånger $17 = 100$ gånger $17 = 1 700$.

Den distributiva lagen kopplar multiplikation till addition: $a$ gånger $(b + c) = ab + ac$. Den gör att en svår faktor kan delas i enkla delar. Produkten 23 gånger 47 kan skrivas 23 gånger $(40 + 7)$, alltså $920 + 161 = 1 081$. En areamodell visar samma sak genom att en rektangel delas i två mindre rektanglar.

Ett är multiplikationens neutrala element och noll gör varje produkt noll. Teckenreglerna följer upprepad motsats: lika tecken ger positiv produkt och olika tecken ger negativ produkt. Gör teckenkontrollen separat från absolutbeloppsberäkningen när flera negativa faktorer ingår.

För tvåsiffriga tal är positionsuppdelning en stabil grundmetod. Produkten 36 gånger 24 blir 36 gånger 20 plus 36 gånger 4. Delprodukterna är 720 och 144, så summan är 864. Varje del behåller sitt positionsvärde, vilket minskar risken att en nolla försvinner.

Du kan dela den faktor som ger enklast delprodukter. I 48 gånger 125 är det bättre att se 48 som 6 gånger 8, eftersom 125 gånger 8 är 1 000. Då blir produkten 6 000. Alternativt kan 48 delas i $40 + 8$, vilket ger $5 000 + 1 000 = 6 000$.

Vid tre delar gäller samma lag. 27 gånger 314 kan skrivas 27 gånger $300 + 27$ gånger 14, eller 314 gånger $(30 - 3)$. Välj den variant som ger färre och enklare delprodukter. Skriv alltid om uttrycket först så att ett efterföljande minus eller plus inte tappas bort.

När en faktor ligger nära 10, 100 eller 1 000 kan distributiva lagen användas som kompensation. Produkten 58 gånger 99 är 58 gånger $(100 - 1) = 5 800 - 58 = 5 742$. Du har multiplicerat med det enkla talet 100 och tagit bort en extra grupp om 58.

För en faktor strax över ett runt tal adderas korrigeringen. 73 gånger 102 är 73 gånger $(100 + 2) = 7 300 + 146 = 7 446$. Kontrollera riktningen: 102 är större än 100, så produkten måste bli större än 7 300.

Två tal nära samma bas kan ibland multipliceras med identiteten $(a - b)(a + b) = a^{2} - b^{2}$. Produkten 48 gånger 52 är $(50 - 2)(50 + 2) = 2 500 - 4 = 2 496$. Metoden är snabb när avstånden från basen är lika, men vanlig distributiv lag är säkrare om mönstret inte är tydligt.

Produkten bevaras om en faktor multipliceras med 2 samtidigt som den andra divideras med 2. Algebraiskt är $a$ gånger $b = (2a)$ gånger $(\frac{b}{2})$. För 16 gånger 35 kan du halvera 16 till 8 och dubblera 35 till 70. Sedan 8 gånger $70 = 560$.

Metoden kan upprepas. 32 gånger 125 blir 16 gånger 250, sedan 8 gånger 500 och slutligen 4 000. Den är särskilt effektiv när en faktor innehåller flera faktorer 2 och den andra blir ett jämnt tiotal, hundratal eller tusental.

Vid udda heltal skapar halvering decimaler eller bråk, vilket kan vara opraktiskt men är fortfarande matematiskt giltigt. Välj därför den faktor som är jämnt delbar med 2. Du kan även tredubbla och dela den andra faktorn med 3, men dubblering är oftast enklast i huvudet.

Faktorisering skriver ett tal som en produkt av mindre heltal. Talet 18 är 2 gånger 3 gånger 3. I 18 gånger 35 kan faktorerna grupperas som 9 gånger $70 = 630$. Du väljer omgruppering utifrån par som bildar 10, 100 eller andra enkla produkter.

Faktorerna 2 och 5 bildar 10, 4 och 25 bildar 100, och 8 och 125 bildar 1 000. Om dessa par gömmer sig i olika tal kan primtalsfaktorisering avslöja dem. Produkten 24 gånger 125 blir 3 gånger 8 gånger $125 = 3 000$.

Faktorisering hjälper även vid förkortning i bråkuttryck och jämförelser utan full multiplikation. Om du ska jämföra 24 gånger 51 med 12 gånger 103 kan den första skrivas 12 gånger 102. Då syns direkt att den andra produkten är 12 större. Detta sparar tid och minskar stora tal.

Multiplikation med 10 flyttar varje siffras positionsvärde ett steg åt vänster, vilket i decimalskrivning gör att decimaltecknet ser ut att flytta ett steg åt höger. Multiplikation med 100 ger två steg. Det är bättre att tänka positionsvärde än att bara lägga till nollor, eftersom 2,4 gånger 10 är 24, inte 2,40.

Vid multiplikation av två decimaler kan du först räkna med heltal och sedan placera decimaltecknet med storlekskontroll. 2,4 gånger 0,35 kan skrivas $\frac{24}{10}$ gånger $\frac{35}{100} =\frac{840}{1} 000 = 0{,}84$. Produkten måste vara mindre än 2,4 eftersom den andra faktorn ligger mellan noll och ett.

Räkna antalet decimalpositioner som en teknisk kontroll, men förstå bråkformen bakom. Om 0,06 gånger 0,4 behandlas som 6 gånger $4 = 24$ och nämnaren blir 100 gånger $10 = 1 000$, blir resultatet 0,024. En grov storleksbedömning bekräftar att produkten är mindre än båda positiva faktorerna.

Inspektera faktorerna före beräkningen. Leta efter tal nära en bas, jämna faktorer som kan halveras, par som bildar 10 eller 100 och en enkel distributiv uppdelning. Skriv den valda omskrivningen på en rad. Då kan du använda en snabb metod utan att lösningen blir svår att kontrollera.

Bestäm tecken, ungefärlig storlek och slutsiffra. Produkten 47 gånger 63 är positiv, nära 50 gånger $60 = 3 000$ och slutar på 1 eftersom 7 gånger 3 slutar på 1. Det exakta svaret 2 961 uppfyller alla tre villkor. Denna tredubbla kontroll fångar både positionsfel och missad delprodukt.

I KVA behöver du ofta inte beräkna båda produkterna. Faktorisera en gemensam positiv faktor och jämför det som återstår. Var försiktig med negativa gemensamma faktorer, eftersom en olikhetsriktning då kan vändas. Vid vanliga flervalsfrågor kan uppskattning och sista siffra eliminera alternativ, men gör exakt beräkning om två alternativ ligger nära.

Var också uppmärksam på enheter. En rektangels area multiplicerar två längder och får en kvadrerad längdenhet, medan pris gånger antal behåller prisets valuta som resultatenhet. Om 12,5 meter multipliceras med 4 meter blir resultatet 50 kvadratmeter, inte 50 meter. Enhetsanalysen kan avslöja att du har multiplicerat när texten egentligen frågar efter en kvot eller en summa.

Faktorerna 5, 25, 50 och 125 har särskilt snabba kopplingar till potenser av tio. Multiplikation med 5 kan göras som multiplikation med 10 följd av halvering. Multiplikation med 25 kan göras som multiplikation med 100 följd av division med 4. Multiplikation med 50 är hälften av multiplikation med 100, och multiplikation med 125 kan ofta kombineras med en faktor 8 för att bilda 1 000. Välj bara metoden när divisionen blir exakt eller enkel, och kontrollera därefter storleksordningen.