Effektiv division

Uttrycket $\frac{a}{b}$ eller $a$ delat med $b$ frågar vilket tal som multiplicerat med $b$ ger $a$, där $b$ inte får vara noll. Talet $a$ kallas dividend, $b$ divisor och resultatet kvot. Om $\frac{84}{6} = 14$ kan svaret kontrolleras genom 14 gånger $6 = 84$. Den inversa kopplingen till multiplikation är den säkraste grunden för all huvudräkning med division.

Division kan tolkas som likadelning eller gruppering. Om 24 objekt delas lika mellan 6 grupper får varje grupp 4. Om du i stället frågar hur många grupper om 6 som ryms i 24 blir svaret också 4. Tolkningarna leder till samma aritmetik men hjälper olika textproblem.

Division är inte kommutativ. $\frac{24}{6}$ är 4, medan $\frac{6}{24}$ är $\frac{1}{4}$. Division är inte heller associativ: $\frac{\frac{24}{6}}{2} = 2$, men $\frac{24}{\frac{6}{2}} = 8$. Behåll därför ordning och parenteser. När flera multiplikationer och divisioner ligger på samma nivå räknar du från vänster till höger, om du inte först skriver om hela uttrycket som ett bråk.

När divisorn har en känd multiplikationstabell kan du formulera divisionen som en saknad faktor. För $\frac{156}{12}$ frågar du 12 gånger vilket tal är 156. Eftersom 12 gånger 10 är 120 återstår 36, vilket är 12 gånger 3. Kvoten är därför 13.

När talet ligger nära en känd multipel ska justeringen göras i multipler av divisorn, inte genom att byta både dividend och divisor till ungefärliga tal. För $\frac{198}{9}$ är 180 en känd multipel av 9 och resten 18 är också en multipel av 9. Därför är $\frac{198}{9} =\frac{180}{9} + \frac{18}{9} = 20 + 2 = 22$. Kontroll: 22 gånger $9 = 198$. Att ersätta problemet med $\frac{200}{10}$ ger bara en grov uppskattning på 20 och kan inte korrigeras med 0,2 till ett exakt svar.

Bygg ett nät av multipler runt divisorn. För division med 7 är 7 gånger $10 = 70$, gånger $20 = 140$ och gånger $30 = 210$ användbara ankare. För $\frac{196}{7}$ ser du att 196 är $210 - 14$, alltså 7 gånger $(30 - 2)$. Kvoten är 28.

Den distributiva lagen ger $\frac{a + b}{c} =\frac{a}{c} + \frac{b}{c}$. Därför kan dividenden delas i delar som är enkla att dividera med samma divisor. För $\frac{252}{7}$ kan du använda $210 + 42$. Delkvoterna blir 30 och 6, så svaret är 36.

Välj delar som är exakta multipler av divisorn. För $\frac{784}{16}$ kan du ta $800 - 16$, vilket ger $50 - 1 = 49$. Detta är en exakt kompensation eftersom både 800 och 16 divideras med samma divisor 16. Du får inte generellt dela divisorn på samma sätt: $\frac{a}{b + c}$ är inte $\frac{a}{b} + \frac{a}{c}$.

Vid decimaler kan samma metod användas. $\frac{7{,}2}{0{,}6}$ blir enklare efter skalning, men $\frac{7{,}2}{3}$ kan direkt delas som $\frac{6}{3} + \frac{1{,}2}{3} = 2 + 0{,}4 = 2{,}4$. Kontrollera med 2,4 gånger $3 = 7{,}2$.

En kvot kan förenklas genom att täljare och nämnare divideras med samma nollskilda tal. För $\frac{360}{24}$ kan båda divideras med 12 och ge $\frac{30}{2} = 15$. Du har egentligen skrivit $360 = 12$ gånger 30 och $24 = 12$ gånger 2 och strukit den gemensamma faktorn 12.

Primtalsfaktorisering är systematisk när ingen snabb gemensam faktor syns. Talet 756 är 2 gånger 2 gånger 3 gånger 3 gånger 3 gånger 7. Talet 42 är 2 gånger 3 gånger 7. När de gemensamma faktorerna 2, 3 och 7 stryks återstår 2 gånger 3 gånger $3 = 18$.

Förkortning gäller faktorer i en produkt, inte enstaka termer i en summa. I $\frac{60 + 12}{6}$ får båda termerna divideras med 6, vilket ger $10 + 2$. I $60 + \frac{12}{6}$ gäller divisionen bara 12 enligt prioriteringsreglerna. Bråkstreckets omfattning måste läsas korrekt.

Kvoten förändras inte om både dividend och divisor multipliceras eller divideras med samma nollskilda tal. Detta följer av $\frac{ka}{kb} = \frac{a}{b}$. Egenskapen är särskilt användbar för att ta bort decimaler. Kvoten $\frac{4{,}2}{0{,}07}$ kan multipliceras i täljare och nämnare med 100 och bli $\frac{420}{7} = 60$.

Välj tillräckligt stor tiopotens för att båda talen ska bli heltal om det hjälper. För $\frac{0{,}036}{1{,}2}$ multiplicerar du båda med 1 000 och får $\frac{36}{1200}$, som förkortas till $\frac{3}{100} = 0{,}03$. Att bara flytta decimaltecknet i det ena talet förändrar kvoten.

Skalning fungerar också åt andra hållet för stora tal. $\frac{48000}{1600}$ kan divideras i båda led med 100 och bli $\frac{480}{16} = 30$. Skriv skalfaktorn tydligt så att antalet nollor hanteras lika i båda talen.

När dividenden inte är en exakt multipel av divisorn kan resultatet anges med rest. Talet 157 delat med 12 är 13 rest 1 eftersom 12 gånger $13 = 156$ och en enhet återstår. Samma värde är $13 + \frac{1}{12}$. Resten måste vara minst noll och mindre än divisorns absolutbelopp i vanlig heltalsdivision.

Om uppgiften kräver decimal fortsätter du divisionen genom att skriva resten som en del av nästa positionsvärde. En rest 1 efter division med 8 motsvarar $\frac{1}{8} = 0{,}125$. Därför är $\frac{25}{8} = 3{,}125$. Vissa bråk ger avslutande decimaler och andra ger oändliga periodiska decimaler.

Tolkningen avgör hur du avrundar. Om 157 personer ska transporteras i bussar med 12 platser behövs 14 bussar, inte 13 rest 1 buss och inte 13,08 bussar. Om 157 meter rep delas i 12 lika delar kan varje del vara 13 och $\frac{1}{12}$ meter. Enheten och det praktiska kravet avgör svarets form.

Att dividera med ett positivt tal mindre än ett ger en större kvot än dividenden, eftersom små enheter ryms fler gånger. Tre delat med en halv frågar hur många halvor som ryms i tre. Svaret är sex. Detta är en viktig storlekskontroll när en divisor är decimal eller bråk.

Division med ett bråk utförs genom multiplikation med dess invers. $\frac{a}{b}$ delat med $\frac{c}{d}$ blir $\frac{a}{b}$ gånger $\frac{d}{c}$, förutsatt att $c$ och $d$ är nollskilda. Regeln fungerar eftersom $\frac{c}{d}$ gånger $\frac{d}{c}$ är ett. För $\frac{5}{6}$ delat med $\frac{10}{9}$ blir $\frac{5}{6}$ gånger $\frac{9}{10}$, som förkortas till $\frac{3}{4}$.

Vid negativa tal gäller vanliga teckenregler. En positiv dividerad med en negativ blir negativ, två negativa ger positiv kvot. Bestäm tecknet först och dividera sedan absolutbeloppen. Division med noll är alltid otillåten, medan noll dividerat med ett nollskilt tal är noll.

Kompatibla tal är närliggande tal som delar jämnt. För $\frac{598}{19}$ kan $\frac{600}{20} = 30$ ge en snabb storleksuppskattning. Den är inte ett exakt svar eftersom både dividend och divisor har ändrats på olika relativa sätt. Exakt kontroll behövs om alternativen ligger nära.

För att avgöra om kvoten ligger över eller under en kandidat multiplicerar du kandidaten med divisorn. Är $\frac{1015}{29}$ större än 35? Eftersom 29 gånger $35 = 1 015$ är kvoten exakt 35. För $\frac{1020}{29}$ är kvoten något större än 35. Denna metod undviker lång division i jämförelsefrågor.

Kontrollera kvotens storlek genom relationer. Division med ett tal större än ett minskar ett positivt tal. Division med ett tal mellan noll och ett ökar det. Dubbleras dividenden med oförändrad divisor dubbleras kvoten. Dubbleras divisorn med oförändrad dividend halveras kvoten.

Börja med att fråga vilken multiplikation divisionen motsvarar. Leta efter en känd multipel, gemensamma faktorer eller en skalning som tar bort decimaler. Dela endast dividenden i delar som är exakta eller lättberäknade multipler av divisorn. En uppskattning med närliggande tal får aldrig presenteras som exakt likhet.

Använd svarsalternativen genom multiplikation. Om du misstänker kvoten 22 i $\frac{198}{9}$, kontrollera 22 gånger 9. Om ett alternativ är ett bråk eller en decimal kan du jämföra med närliggande multipler innan du gör full division. Vid praktiska textproblem bestämmer enheten om rest ska behållas, om kvoten ska avrundas uppåt eller om en exakt bråkdel är rimlig.

Gör tre slutkontroller: divisorn är nollskild, kvoten har rimlig storlek och kvot gånger divisor återskapar dividenden. För en division med rest ska kvot gånger divisor plus rest ge dividenden. För $\frac{198}{9}$ bekräftar kontrollen 22 gånger $9 = 198$ att svaret 22 är exakt.