Avrundning och överslagsräkning

Bestäm först vilken position som ska behållas, exempelvis tiotal, tiondel eller två decimaler. Titta sedan på siffran direkt till höger. Är den 0, 1, 2, 3 eller 4 behålls den valda siffran. Är den 5, 6, 7, 8 eller 9 ökas den valda siffran med ett. Alla senare positioner tas bort eller ersätts med nollor beroende på skrivsätt.

Talet 3 746 avrundat till hundratal blir 3 700 eftersom tiotalssiffran är 4. Samma tal avrundat till tusental blir 4 000 eftersom hundratalssiffran är 7. Noggrannhetsnivån avgör alltså resultatet. Skriv alltid vilken position som används när sammanhanget inte gör det självklart.

För decimalen 8,376 avrundad till två decimaler behålls hundradelssiffran 7 och nästa siffra är 6, så resultatet blir 8,38. Avrundning till en decimal ger 8,4 eftersom hundradelssiffran är 7. Fyll inte på eller ta bort decimaler utan att samtidigt tänka på angiven precision.

I skoluppgifter används normalt regeln att en följande femma avrundar uppåt för positiva tal. Talet 2,35 till en decimal blir 2,4. I vissa tekniska och statistiska system används andra regler för exakta halvvärden, exempelvis avrundning till närmaste jämna slutsiffra. Följ den regel som uppgiften anger och anta den vanliga skolregeln när inget annat sägs i grundläggande HP matematik.

Undvik kedjeavrundning. Talet 2,449 avrundat direkt till en decimal blir 2,4 eftersom hundradelssiffran är 4. Om du först avrundar till två decimaler får du 2,45 och sedan felaktigt 2,5 till en decimal. Varje extra avrundning kan flytta talet över en ny gräns.

Behåll därför originalvärdet eller full precision genom alla mellanled och avrunda först i slutet. Om en uppgift uttryckligen ber om mellanresultat till en viss noggrannhet följer du det, men var medveten om att slutresultatet då kan skilja sig något från en beräkning med exakta mellanvärden.

Ett avrundat värde representerar ett intervall. Om ett positivt tal avrundas till närmaste heltal och anges som 12, ligger originalet från och med 11,5 upp till men inte inklusive 12,5 enligt vanlig uppåtregel. Den undre gränsen ingår eftersom 11,5 avrundas till 12, medan 12,5 avrundas till 13.

Om ett värde är 3,7 avrundat till en decimal är avrundningsenheten 0,1 och halva enheten 0,05. Originalet ligger därför från 3,65 till strax under 3,75. För 2 400 avrundat till närmaste hundratal är halva enheten 50, så intervallet är från 2 350 till strax under 2 450.

Intervall används för att hitta möjliga största och minsta resultat. Om två längder är avrundade kan deras exakta summa variera. Du måste då kombinera undre gränser för minsta möjliga summa och övre gränser för största möjliga summa, med hänsyn till om gränsen ingår. På HP räcker ofta ett öppet eller slutet intervall uttryckt i ord.

Vid addition avrundar du termerna till en nivå som ger enkel huvudräkning men bevarar relevant storleksordning. Summan $398 + 612 + 1 987$ kan uppskattas som $400 + 600 + 2 000 = 3 000$. Det exakta värdet ligger nära eftersom positiva och negativa avrundningsfel delvis tar ut varandra.

Vid subtraktion behöver du vara mer försiktig när två stora tal ligger nära varandra. Skillnaden $10 041 - 9 976$ är 65. Om båda avrundas till 10 000 får du noll, vilket är en dålig uppskattning relativt den lilla differensen. Använd i stället uppräkning eller avrunda till en finare nivå, exempelvis $10 040 - 9 980 \approx 60$.

Du kan styra om uppskattningen ska bli en övre eller undre gräns. För en positiv summa får du en övre uppskattning genom att avrunda varje term uppåt och en undre genom att avrunda nedåt. Vid subtraktion blir en övre gräns genom att avrunda det första talet uppåt och det andra nedåt.

Vid multiplikation kan varje faktor avrundas till ett närliggande enkelt tal. Produkten 49 gånger 203 ligger nära 50 gånger $200 = 10 000$. Eftersom den ena faktorn avrundas upp och den andra ned kan felen delvis motverka varandra, men det är inte garanterat exakt.

Vid division väljer du kompatibla tal som delar jämnt. Kvoten $\frac{1194}{31}$ kan uppskattas med $\frac{1200}{30} = 40$. För en bättre kontroll jämför du med multipler av 31: 31 gånger $38 = 1 178$ och gånger $39 = 1 209$, så den exakta kvoten ligger mellan 38 och 39. Det enkla överslaget 40 är nära men något högt.

Riktningen på felet i en kvot beror på båda talen. En större dividend höjer kvoten och en större positiv divisor sänker den. För att skapa en säker övre gräns rundar du dividenden uppåt och divisorn nedåt. För en undre gräns gör du tvärtom, förutsatt att alla tal är positiva.

Värdesiffror räknas från den första siffran som inte är noll. Talet 0,00470 har tre värdesiffror: 4, 7 och den avslutande nollan, eftersom nollan anger precision. Talet 4 700 kan vara tvetydigt utan extra notation, men i skoluppgifter anges ofta vilken position eller hur många värdesiffror som avses.

För att avrunda 0,004768 till tre värdesiffror behåller du 4, 7 och 6. Nästa siffra är 8, så 6 höjs till 7 och resultatet blir 0,00477. De inledande nollorna är bara platshållare och räknas inte som värdesiffror.

Rapportera inte fler meningsfulla siffror än underlaget stödjer. Om en längd är mätt till närmaste centimeter och en annan till närmaste centimeter blir en beräknad area inte exakt bara för att multiplikationen ger många decimaler. På HP är uppgiftens angivna avrundningskrav styrande, men sunt precisionsomdöme hjälper dig att välja rätt alternativ.

Om $x$ anges avrundat till en viss enhet kan maximalt absolut avrundningsfel vara halva enheten. Ett värde avrundat till närmaste tiondel har fel mindre än eller lika med ungefär 0,05, med gränsinkludering beroende på regel och riktning. Vid addition kan maximala absoluta fel uppskattas genom att addera de enskilda felgränserna.

Vid multiplikation är relativa fel ofta mer informativa. Om två positiva faktorer kan avvika något kan en övre produkt fås genom att multiplicera deras övre gränser och en undre genom deras undre gränser. Exempelvis betyder längderna 5,0 och 3,0 avrundade till en decimal att exakta värden ligger i var sitt intervall. Möjlig area behöver därför beräknas från intervallets hörn, inte bara från 15,0.

På grundläggande provnivå behöver du oftast bara förstå att avrundningsfel kan förstärkas och att mellanled ska behålla precision. När ett exakt intervall efterfrågas skriver du varje ingångsvärdes gränser först och väljer sedan den kombination som ger minsta respektive största möjliga resultat.

Bestäm syftet innan du avrundar. Vill du bara hitta storleksordningen kan grova tal räcka. Vill du skilja två närliggande alternativ behövs finare kompatibla tal eller exakta multipler. Vid subtraktion av nära tal ska du undvika att avrunda bort hela differensen.

Markera skillnaden mellan likhet och approximation. Ett överslag som 49 gånger 203 ungefär 10 000 är användbart, men det är inte en exakt omskrivning. När en exakt kontroll finns snabbt, använd den: slutsiffra, gränser eller omvänd operation. Avrunda bara slutresultatet om uppgiften inte kräver ett avrundat mellanled.

På svarsalternativ kan du bygga ett intervall. Om en positiv produkt ligger mellan 1 482 och 1 600 kan alla alternativ utanför intervallet strykas. Vid diagram kontrollerar du axelns enhet och hur ursprungsdata har avrundats. Ett snyggt decimalresultat är inte mer korrekt än den precision som givna data tillåter.