Effektiv subtraktion

Uttrycket $a - b$ kan betyda att $b$ tas bort från $a$. Det kan också beskriva förändringen från $b$ till $a$ eller det riktade avståndet mellan talen. I $83 - 57$ är borttagningsmodellen naturlig, men uppräkning från 57 till 83 kan vara snabbare: 57 till 60 är 3, 60 till 80 är 20 och 80 till 83 är 3. Totalt är skillnaden 26.

Subtraktion är inte kommutativ. $83 - 57$ är 26, medan $57 - 83$ är $-26$. Om frågan gäller ett vanligt avstånd utan riktning används absolut skillnad och svaret blir 26 i båda jämförelserna. Om frågan gäller temperaturförändring eller vinstförändring kan tecknet bära viktig information.

Sambandet med addition ger den bästa kontrollen: om $a - b = c$ ska $b + c = a$. När $83 - 57 = 26$ kontrollerar du $57 + 26 = 83$. Den omvända operationen fungerar även för decimaler och negativa tal.

Uppräkning behandlar subtraktion som frågan vad måste läggas till $b$ för att få $a$. För $502 - 487$ räknar du 487 till 500, vilket är 13, och därefter 2 till 502. Skillnaden är 15. Metoden undviker lån över flera nollor.

Vid priser och tider är uppräkning ofta intuitiv. Skillnaden mellan 14.38 och 16.05 kan delas i 22 minuter till 15.00, 60 minuter till 16.00 och 5 minuter till 16.05, totalt 87 minuter. Du måste dock hålla enheterna tydliga och komma ihåg att 60 minuter motsvarar en timme.

Skriv hopp som positiva delskillnader och summera dem. Om subtraktionen i stället ska ge en riktad negativ förändring, exempelvis nytt minus gammalt där det nya är mindre, sätter du minustecken på den slutliga storleken. Uppräkningen hittar absolut skillnad, medan frågans ordning bestämmer riktning.

Differensen förändras inte om samma tal adderas till både minuend och subtrahend: $a - b = (a + k) - (b + k)$. På en tallinje flyttas båda punkterna lika långt, så avståndet mellan dem är oförändrat. Detta kallas konstant differens eller liksidig kompensation.

För $723 - 198$ kan du addera 2 till båda talen och få $725 - 200 = 525$. Detta är säkrare än att ersätta 198 med 200 utan att ändra 723. Om bara det undre talet ökas med 2 blir resultatet 2 för litet och behöver korrigeras åt andra hållet.

Metoden fungerar också med decimaler. $8{,}43 - 2{,}98$ blir $8{,}45 - 3{,}00 = 5{,}45$ när 0,02 adderas till båda. Välj en förskjutning som gör ett av talen helt eller lätt att subtrahera.

Konstant differens kan bevisas genom att parenteserna utvecklas: $(a + k) - (b + k) = a + k - b - k = a - b$. Tillägget $k$ och borttagningen av samma $k$ tar ut varandra. Beviset visar också varför båda talen måste förändras lika mycket och åt samma håll. Om det ena ökas och det andra minskas ändras avståndet med två gånger förskjutningen.

Du kan dela talet som ska subtraheras i positionsdelar. För $846 - 327$ börjar du med $846 - 300 = 546$, fortsätter med $-20 = 526$ och avslutar med $-7 = 519$. Varje steg behåller ordningen och minskar arbetsminnets belastning.

När ett delsteg passerar en gräns kan du brygga. Från 526 minus 7 kan du först ta 6 och nå 520, sedan ta återstående 1 och få 519. Denna kombination av positionsuppdelning och bryggning är ofta mer robust än en mental uppställning.

Dela bara subtrahenden, inte slumpmässigt båda talen, om du använder denna metod. Uttrycket $a - (b + c)$ är $a - b - c$. Parentesen är viktig eftersom $a - b + c$ är ett annat uttryck. Skriv delarna med minustecken i mellanleden.

Att subtrahera ett tal betyder att addera dess motsatta tal: $a - b = a + (-b)$. Därför är $5 - 8$ samma som $5 + (-8) = -3$. På tallinjen går du åtta steg åt vänster från 5 och passerar noll.

Att subtrahera ett negativt tal blir addition. Uttrycket $7 - (-4)$ är $7 + 4 = 11$. Det första minustecknet anger operationen subtraktion och det andra hör till talet negativ fyra. När motsatsen till negativ fyra tas får du positiv fyra.

Vid två negativa tal kan du använda förändringstolkningen. $-3 - (-8)$ är avståndet med riktning från $-8$ till $-3$, vilket är $+5$. Uttrycket $-8 - (-3)$ är $-5$. Parenteser runt negativa tal gör teckenstrukturen synlig och bör behållas tills omskrivningen är klar.

Vid decimal subtraktion ska samma positionsvärden stå under varandra. Skriv 12,4 som 12,40 om du ska subtrahera 3,78. Då syns hundradelarna och differensen blir 8,62. En nolla efter sista decimalen ändrar inte talets värde.

För pengar kan du räkna i ören för att undvika decimaltecken. 125,50 kronor minus 78,95 kronor motsvarar 12 550 öre minus 7 895 öre, men talen blir större. Ofta är konstant differens enklare: addera 1,05 till båda och få $126{,}55 - 80 = 46{,}55$ kronor.

Tid använder basen 60 snarare än 100. Du kan inte behandla 1 timme 30 minuter som 1,30 timmar, eftersom 30 minuter är 0,5 timmar. Om tider ska subtraheras, välj antingen minuter som gemensam enhet eller använd uppräkning över hela timmar.

Titta på avståndet mellan talen före metodval. Är de nära varandra, räkna upp. Ligger det undre talet nära ett jämnt hundratal, använd konstant differens. Har talet tydliga positionsdelar, subtrahera i etapper. Vid negativa tal skriver du om subtraktion som addition av motsatsen.

Använd slutsiffra och storleksordning för att testa alternativ. Differensen $1 003 - 976$ måste vara liten och positiv. Ett alternativ i hundratal kan avfärdas direkt. Entalssiffran kan kontrolleras genom omvänd addition, men var försiktig när lån påverkar en mental slutsifferregel.

Kontrollera alltid med addition: $\text{differens} + \text{subtrahend} = \text{minuend}$. Gör dessutom en grov uppskattning. $2 430 - 786$ ligger nära $2 400 - 800 = 1 600$, så exakt svar 1 644 är rimligt. Om ett tecken ingår ska kontrollen även bekräfta riktningen.

När en textuppgift beskriver förändring ska du skriva start, förändring och slut med sina enheter innan du subtraherar. Ett saldo som går från minus 120 till plus 35 har ökat med 155, eftersom $35 - (-120) = 155$. Ett lager som går från 120 till 35 har däremot minskat med 85. Samma siffror kan alltså ge olika differenser beroende på startpunkt och riktning. På DTK kan värden dessutom vara avlästa och avrundade. Då bör differensen anges med samma rimliga precision som diagrammet, inte med fler decimaler än underlaget. Denna språkliga kontroll är lika viktig som huvudräkningsmetoden.

För algebraiska jämförelser kan du subtrahera samma uttryck från två storheter utan att ändra deras ordning. Om $a$ är större än $b$ är $a - c$ större än $b - c$ för samma $c$. Detta gör det möjligt att förenkla KVA uttryck genom att ta bort en gemensam term. Däremot får du inte byta tecken på en differens utan att också byta ordning: $a - b = -(b - a)$. När bara differensens storlek efterfrågas används absolutbeloppet $\lvert a - b \rvert$. Genom att skilja riktad differens från absolut skillnad undviker du att ett korrekt tal får fel tecken.