Högskoleprovet VT 2016, Provpass 5, uppgift 24

NOG uppgift 24. Hela lösningen.

Läs uppgiften i samma frågevy som i träningsläget. Följ sedan resonemanget steg för steg och fortsätt direkt med fler uppgifter från samma delprov.

Visa uppgift och lösning

Provtillfälle: VT 2016
Placering: Provpass 5, uppgift 24
Delprov: NOG

Uppgiften i originalformat

Se frågan och det rätta svaret.

Fråga 24 av 40

Fullständig lösning

(1) DE är 5 cm.

(2) CF är 8 cm.

Cirkelbågen BC utgör en fjärdedel av en cirkel med medelpunkten i A. Rektangeln ADEF är inritad så att F ligger på radien AC, D ligger på radien AB och E ligger på cirkelbågen BC. Vilken längd har cirkelbågen BC?

Så löser du uppgiften

Kärnidé

Cirkelbågen

BC

är en fjärdedels cirkelbåge, så dess längd bestäms helt av radien

r

. För en fjärdedels cirkel blir båglängden

\frac{\pi r}{2}

. Alltså måste vi kunna bestämma

r

Lösning

I figuren kan vi se att

A

är cirkelns medelpunkt,

AB

och

AC

är radier och rektangeln har hörn

A(0,0)

D(x,0)

F(0,y)

och

E(x,y)

. Punkten

E

ligger på cirkeln, så

x^2+y^2=r^2

(1)

DE

är 5 cm.
Då är

DE=y=5

. Men

x

är fortfarande okänd. Eftersom

E

ligger på cirkeln gäller

r^2=x^2+25

. Olika

x

ger olika

r

(t.ex.

x=5

ger

r=\sqrt{50}

medan

x=12

ger

r=13

). Alltså kan båglängden inte bestämmas entydigt. (1) räcker inte.

(2)

CF

är 8 cm.
Punkterna

C

och

F

ligger på samma radie

AC

(lodräta linjen). Därför är

CF=r-y=8

, alltså

r=y+8

. Men

y

är okänd, och olika

y

ger olika

r

(t.ex.

y=2

ger

r=10

y=6

ger

r=14

). Alltså kan båglängden inte bestämmas entydigt. (2) räcker inte.

(1) och (2) tillsammans:
Från (1) får vi

y=5

. Från (2) får vi då

r-y=8

, alltså

r=5+8=13

. Då är cirkelbågen

BC

en fjärdedel av cirkelns omkrets, så båglängden blir

\frac{\pi r}{2}=\frac{13\pi}{2}

. Radien (och därmed båglängden) är entydigt bestämd.

Svar

Träna vidare på samma delprov

Öppna frågebanken och låt resultaten styra vilka uppgifter du får härnäst.

Starta NOG träning

Fem relaterade uppgifter

Lös fler frågor från samma prov.

Vi prioriterar samma delprov och provpass, därefter samma termin. Varje länk öppnar en riktig provuppgift med full lösning.

Föregående uppgift Nästa uppgift Läs hela NOG guiden Felsök vanliga mattefel Till hela VT 2016