Högskoleprovet HT 2011, Provpass 4, uppgift 26

NOG uppgift 26. Hela lösningen.

Läs uppgiften i HPKursens riktiga frågevy. Följ sedan resonemanget steg för steg och fortsätt direkt med fler uppgifter från samma delprov.

Visa uppgift och lösning

Provtillfälle: HT 2011
Placering: Provpass 4, uppgift 26
Delprov: NOG

Uppgiften i originalformat

Se frågan och det rätta svaret.

Fråga 26 av 40

Fullständig lösning

(1) C:s radie är 15 cm.

(2) A:s radie är 5 cm och B:s radie är 10 cm.

Två klot, A och B, ryms inuti ett större klot, C. Summan av A:s och B:s radier är lika med C:s radie. Hur stor är skillnaden mellan det stora klotets volym och den sammanlagda volymen av de två mindre kloten?

Så löser du uppgiften

Kärnidé

Klotvolymen beror på radien i tredje potens. För att få volymskillnaden måste man i praktiken känna till radierna för A och B (inte bara deras summa).

Lösning

Volymen av ett klot är

V=\frac{4}{3}\pi r^3

. Skillnaden som efterfrågas är

V_C-(V_A+V_B)=\frac{4}{3}\pi(r_C^3-r_A^3-r_B^3)

. Dessutom ges att

r_A+r_B=r_C

(1)

r_C=15

: Då vet vi bara att

r_A+r_B=15

, men

r_A

och

r_B

kan vara många olika par. Volymskillnaden blir olika för olika val, t.ex.

$r_A=5,\ r_B=10$ ger $15^3-5^3-10^3$ .
$r_A=7,\ r_B=8$ ger $15^3-7^3-8^3$ .

Dessa uttryck är inte lika, alltså räcker (1) inte.

(2)

r_A=5

och

r_B=10

: Då fås direkt

r_C=r_A+r_B=15

. Nu är alla tre radier bestämda, så volymskillnaden är entydigt

\frac{4}{3}\pi(15^3-5^3-10^3)=\frac{4}{3}\pi\cdot2250=3000\pi

. Alltså räcker (2) ensam.

(1)+(2): Tillsammans räcker det också, men det behövs inte eftersom (2) redan räcker.

Svar

Träna vidare på samma delprov

Öppna frågebanken och låt resultaten styra vilka uppgifter du får härnäst.

Starta NOG träning

Fem relaterade uppgifter

Fortsätt i samma provkontext.

Vi prioriterar samma delprov och provpass, därefter samma termin. Varje länk öppnar en riktig provuppgift med full lösning.

Föregående uppgift Nästa uppgift Läs hela NOG guiden Felsök vanliga mattefel Till hela HT 2011