Enheter, förhållanden och proportionalitet i XYZ

Enheter kan behandlas som en del av uttrycket. De multipliceras, divideras och förkortas tillsammans med talen. Det gör enhetsanalys till ett sätt att kontrollera modellen redan innan du vet det numeriska svaret.

Hastighet definieras som sträcka delat med tid: $v=s/t$. Om sträckan mäts i kilometer och tiden i timmar blir enheten kilometer per timme. Multiplicerar du hastighet med tid förkortas tidsenheten och resultatet blir sträcka: $\frac{\text{km}}{\text{h}}\cdot\text{h}=\text{km}$. Om din planerade operation inte ger den efterfrågade enheten bör modellen granskas.

Area uppstår när två längder multipliceras. En rektangel med sidorna 4 centimeter och 7 centimeter har arean $4\cdot7=28$ kvadratcentimeter. Om alla längder dubbleras blir arean fyra gånger så stor, eftersom både bas och höjd får faktor 2. Volym har tre längdfaktorer och blir åtta gånger så stor vid dubblering. Enheten avslöjar antalet dimensioner.

Densitet, pris per enhet och flöde är kvoten mellan två olika sorters storheter. Ett pris på 90 kronor för 3 kilogram ger $90/3=30$ kronor per kilogram. Ett flöde på 12 liter under 4 minuter ger 3 liter per minut. När frågan vänder på relationen behöver också enheten vändas: minuter per liter är inte samma sak som liter per minut.

Procent är dimensionslöst eftersom en del divideras med en helhet av samma sort. $\frac{20\text{ personer}}{80\text{ personer}}=0,25=25$ procent. Personenheten förkortas. Om täljare och nämnare beskriver olika populationer eller tidpunkter får förkortningen däremot ingen meningsfull tolkning. Kontrollera därför att delen verkligen ingår i helheten.

En säker enhetsomvandling kan skrivas som multiplikation med ett omvandlingsbråk. Täljare och nämnare beskriver samma storhet i olika enheter, så bråket är lika med ett och ändrar inte den verkliga mängden.

För att göra om 3,6 kilometer till meter använder du $\frac{1000\text{ m}}{1\text{ km}}$. Produkten blir $3,6\text{ km}\cdot\frac{1000\text{ m}}{1\text{ km}}=3600\text{ m}$. Kilometer förkortas och meter blir kvar. Om bråket vänds hamnar kilometer i kvadrat i uttrycket, vilket visar att riktningen är fel.

Tid behöver särskild noggrannhet eftersom minuter och sekunder inte följer tiobassystemet. En halv timme är 30 minuter, inte 50 minuter. För hastighet kan 90 minuter skrivas $90/60=1,5$ timmar. Alternativt kan sträckan göras om och tiden behållas i minuter, men slutsvaret måste sedan omvandlas till samma enhet som alternativen.

Areaenheter förändras kvadratiskt. Eftersom $1\text{ m}=100\text{ cm}$ gäller $1\text{ m}^2=100^2\text{ cm}^2=10\,000\text{ cm}^2$. Det räcker inte att multiplicera areatalet med 100. På samma sätt förändras volymen med kuben av längdfaktorn. Skriv upp dimensionen innan du använder omvandlingsfaktorn.

I ett sammansatt mått måste både täljare och nämnare omvandlas. För att göra om meter per sekund till kilometer per timme kan du multiplicera med $\frac{1\text{ km}}{1000\text{ m}}$ och $\frac{3600\text{ s}}{1\text{ h}}$. Faktoren blir $3,6$, så $10$ meter per sekund motsvarar $36$ kilometer per timme. Enheterna visar varför faktorn är större än ett.

Alla tre kan skrivas som kvoter, men de svarar på olika frågor. Förhållandet jämför två grupper, andelen jämför en del med en helhet och förändringsfaktorn jämför ett nytt värde med ett gammalt.

Om en klass har 12 elever i grupp A och 18 i grupp B är förhållandet A till B $12:18=2:3$. Andelen som tillhör A är däremot $12/(12+18)=12/30=40$ procent. Att använda 12/18 som andel ger en felaktig helhet. Skriv därför vilken mängd nämnaren ska representera innan kvoten bildas.

Om ett pris går från 200 till 250 kronor är förändringsfaktorn $250/200=1,25$. Det nya priset är 125 procent av det gamla och ökningen är 25 procent. Kvoten mellan nytt och gammalt innehåller alltså både den ursprungliga helheten och ökningen. Svarsalternativ kan innehålla 1,25, 125 procent och 25 procent, så frågeordet avgör formen.

Ett förhållande kan skalas utan att relationen ändras. $2:3$, $4:6$ och $10:15$ beskriver samma proportion. Om totalt 35 delar fördelas i förhållandet $2:3$ består helheten av fem lika andelar. Varje andel är $35/5=7$, så grupperna blir 14 och 21. Kontrollera att summan återgår till 35.

En kvot kan jämföra storheter med olika enheter, exempelvis kronor per kilogram. Då ska den inte tolkas som en andel eller procent. Om 2 kilogram kostar 70 kronor är enhetspriset 35 kronor per kilogram. För att hitta kostnaden för 5 kilogram multipliceras enhetspriset med 5 kilogram och kilogramen förkortas.

Korsmultiplikation är en algebraisk teknik för två lika kvoter. Den visar inte i sig att situationen är proportionell. Innan du ställer upp en proportion behöver du avgöra om kvoten faktiskt är konstant.

Ett fast styckpris ger direkt proportionalitet. Om $y$ är totalkostnaden och $x$ antalet varor gäller $y=kx$, där $k$ är priset per vara. Grafen går genom origo och en dubblering av antalet dubblerar kostnaden. En fast startavgift bryter däremot direkt proportionalitet: modellen $y=kx+b$ har inte konstant kvot $y/x$ när $b\ne0$.

Om fyra maskiner gör ett arbete på sex timmar blir tiden inte automatiskt proportionell mot antalet maskiner. Under antagandet att maskinerna arbetar lika snabbt och oberoende är arbetstiden omvänt proportionell: dubbelt så många maskiner ger halva tiden. Produkten antal maskiner gånger tid är då konstant. Textens praktiska villkor avgör om modellen är rimlig.

Skala är en proportion mellan längd på bild och längd i verkligheten. Vid skalan $1:50\,000$ motsvarar en centimeter på kartan 50 000 centimeter i verkligheten, vilket är 500 meter. Samma längdfaktor gäller alla längder. För area måste skalfaktorn kvadreras, så en yta på kartan och motsvarande verklig yta har ett annat numeriskt förhållande.

När du korsmultiplicerar proportionen $a/b=c/d$ får du $ad=bc$, förutsatt att nämnarna inte är noll. Kontrollera svaret genom att sätta tillbaka det i de ursprungliga kvoterna och genom att fråga om riktningen är rimlig. Fler varor med samma styckpris ska inte ge lägre totalpris, och en större verklig längd ska inte ge kortare kartlängd vid samma skala.

Medelhastighet är total sträcka delad med total tid. Den är inte alltid det vanliga medelvärdet av två hastigheter. Tidsandelarna eller sträckandelarna avgör hur stor vikt varje hastighet får.

Anta att en person kör 30 minuter i 30 kilometer per timme och sedan 60 minuter i 60 kilometer per timme. Första sträckan är $30\cdot0,5=15$ kilometer. Andra sträckan är $60\cdot1=60$ kilometer. Total sträcka är 75 kilometer och total tid 1,5 timmar. Medelhastigheten blir $75/1,5=50$ kilometer per timme.

Det vanliga medelvärdet $(30+60)/2=45$ är fel här eftersom hastigheterna inte gäller lika länge. Den högre hastigheten gäller dubbelt så lång tid och får därför större vikt. Om tiderna hade varit lika skulle det aritmetiska medelvärdet varit korrekt. Fråga alltså vad som är lika innan du väljer medelvärdesform.

Om i stället lika långa sträckor körs med två olika hastigheter blir den långsammare delen tidsmässigt tyngre. För en sträcka $s$ i hastigheterna $v_1$ och $v_2$ är total tid $s/v_1+s/v_2$. Medelhastigheten blir $2s/(s/v_1+s/v_2)$, vilket inte är det aritmetiska medelvärdet. En grov rimlighetskontroll är att svaret ligger närmare den lägre hastigheten.

Samma princip gäller pris per enhet, produktion per timme och andra kvotmått. Lägg inte ihop kvoter utan att återgå till deras täljare och nämnare. Summera den totala mängden i täljaren och den totala basen i nämnaren. Då behåller du relationens faktiska vikt och får rätt enhet i svaret.

När en relationsuppgift blir fel behöver du veta om orsaken var en omvandling, en omvänd kvot, fel helhet eller ett antagande om proportionalitet. Separata kontrollfrågor gör felet möjligt att reparera.

Kontrollera först enheterna. Skriv dem i varje rad och se vilka som förkortas. Om du adderar 3 timmar och 40 minuter måste du först välja gemensam enhet. Om du multiplicerar två längder och fortfarande skriver en längdenhet har du tappat kvadraten. Enhetsfelet kan ofta hittas utan att talen räknas om.

Kontrollera sedan ordningen. Skriv kvoten med ord i täljare och nämnare. Förhållandet pojkar till flickor och flickor till pojkar är reciproker. På samma sätt är kilometer per timme reciproken till timmar per kilometer, men de besvarar olika frågor. Ett korrekt bråk i fel riktning ger ett systematiskt fel i hela lösningen.

Kontrollera därefter basen. Vid andel ska nämnaren vara helheten, vid procentuell förändring det gamla värdet och vid enhetspris antalet enheter. Skriv en kort etikett under nämnaren. Om den inte kan namnges tydligt är relationen inte färdig. Detta är särskilt viktigt när texten innehåller flera grupper eller flera tidpunkter.

Träna med de två publicerade XYZ frågorna på sidan och förklara enheten högt före varje operation. Efter ditt svar kan du läsa den fullständiga lösningen och använda en kvantitativ videoförklaring när en verifierad video finns. Jämför om din enhetskedja och lösningens kedja ger samma sort, även om de använder olika talform.