Andel, del och helhet

En andel beskriver hur stor en del är i förhållande till en helhet. Sambandet skrivs andel lika med del delat med helhet. Om 18 av 60 deltagare väljer ett visst alternativ är andelen $\frac{18}{60}$, vilket förkortas till $\frac{3}{10}$ och kan skrivas 0,3 eller 30 procent. Bråkform, decimalform och procentform beskriver samma storlek. De passar bara olika bra i olika sammanhang.

Helheten är den grupp eller mängd som jämförelsen utgår från. Delen ingår i helheten och har samma enhet. Om 12 kilometer av en sträcka på 40 kilometer är asfalt, är delen 12 kilometer och helheten 40 kilometer. Kilometern förkortas i kvoten, så andelen saknar enhet. Om täljare och nämnare har olika enheter handlar kvoten oftast om en hastighet, densitet eller annan relation, inte en ren andel.

Andelen ligger mellan noll och ett när delen verkligen ingår i helheten och ingen överlappning eller upprepning finns. I procentform ligger den då mellan noll och 100 procent. Värden över 100 procent kan förekomma vid jämförelser, till exempel när en mängd är 120 procent av en annan, men då är den andra mängden jämförelsebas och den första är större än basen. Kontexten avgör om det är rimligt.

När både delen och helheten är kända dividerar du delen med helheten. Resultatet kan lämnas som bråk, decimal eller procent beroende på frågan. För att skriva decimalen som procent multiplicerar du med 100. Det betyder inte att värdet blir hundra gånger större, eftersom procentsymbolen betyder hundradelar. Decimalen 0,42 och 42 procent är samma tal uttryckt med olika enheter för andelen.

Försök förkorta bråket innan du gör decimaldivision. Om 28 av 80 är en viss kategori blir andelen $\frac{28}{80}$, som förkortas till $\frac{7}{20}$. Eftersom $\frac{1}{20}$ är 0,05 är $\frac{7}{20}$ lika med 0,35 eller 35 procent. Sådana bråkvägar är ofta snabbare än lång division utan miniräknare.

Kontrollera alltid att du dividerar i rätt ordning. Frågan hur stor andel av 80 som 28 utgör betyder 28 delat med 80. Kvoten 80 delat med 28 svarar i stället på hur många gånger 28 ryms i 80. Språksignalen av helheten pekar ofta ut nämnaren.

Om andelen och helheten är kända multiplicerar du dem. Sambandet blir del lika med andel gånger helhet. Procenttalet måste först tolkas som hundradelar. Tolv procent är $\frac{12}{100}$ eller 0,12. Tolv procent av 350 blir därför 0,12 gånger 350. Du kan ofta göra beräkningen utan decimaler genom att först hitta en procent eller tio procent.

Valet av strategi beror på talen. För 15 procent av 240 är tio procent 24 och fem procent 12, så summan är 36. Alternativt är 15 procent lika med $\frac{3}{20}$, och $\frac{3}{20}$ gånger 240 blir 3 gånger 12, alltså 36. Den bråkform som förkortas fint är ofta snabbast på högskoleprovet.

Delen ska ha samma enhet som helheten. Om $\frac{7}{10}$ av 50 liter används blir delen 35 liter. Andelen $\frac{7}{10}$ saknar enhet och multipliceras med 50 liter. Om ditt svar fortfarande är ett rent decimaltal utan liter har du sannolikt glömt vad uppgiften frågade efter.

Om delen och andelen är kända löser du ut helheten: helhet lika med del delat med andel. Om 24 personer motsvarar 30 procent är helheten 24 delat med 0,30, vilket är 80. Tänk gärna att 30 procent är tre tiondelar. Om tre tiondelar är 24, är en tiondel 8 och tio tiondelar 80.

Denna variant känns ofta svårare eftersom divisionen sker med ett tal mindre än ett. Men resultatet måste vara större än delen när andelen är mindre än 100 procent. Om din beräkning ger en helhet mindre än 24 i exemplet ovan vet du direkt att du har multiplicerat när du borde dividera.

Var vaksam på frågor där en återstående del anges. Om 18 elever är frånvarande och 85 procent är närvarande, då är 18 elever inte 85 procent utan de återstående 15 procenten. Helheten blir 18 delat med 0,15, alltså 120. Gör en liten etikett bredvid varje uppgift: del, andel och helhet. Då syns sådana språkfällor innan du räknar.

Samma två tal kan ge olika procenttal beroende på vilket tal som är helheten. Om grupp $A$ har 40 personer och grupp $B$ har 50 personer är $A 80$ procent av $B$, eftersom $\frac{40}{50}$ är 0,8. $B$ är däremot 125 procent av $A$, eftersom $\frac{50}{40}$ är 1,25. Påståendena motsäger inte varandra. De använder olika jämförelsebaser.

Orden av, jämfört med och utifrån hjälper, men läs hela meningen. Frågan hur stor andel av samtliga deltagare som tillhör grupp $A$ använder samtliga som helhet. Frågan hur många fler grupp $B$ har jämfört med grupp $A$ använder grupp $A$ som bas för den relativa ökningen. Den absoluta skillnaden är 10 personer i båda riktningar, men den relativa skillnaden beror på basen.

I diagram behöver du också avgöra om procentsatserna avser hela diagrammet, en kolumn eller en undergrupp. Ett hundraprocentigt stapeldiagram normaliserar ofta varje stapel separat. Då kan lika höga procentandelar motsvara olika antal om gruppernas storlek skiljer sig. Läs därför både axlar, teckenförklaring och eventuell not om antal observationer.

I en tabell kan helheten vara en rad, en kolumn eller hela materialet. Markera därför först den population som frågan gäller. Om en tabell visar 200 personer uppdelade efter ålder och transportsätt och frågan gäller andelen cyklister bland personer under 30, är helheten alla personer under 30, inte alla 200. Delen är cyklisterna inom just den åldersgruppen.

Villkorade andelar kan byta tydligt när nämnaren byts. Andelen studenter bland bussresenärer är antal studenter som åker buss delat med alla bussresenärer. Andelen bussresenärer bland studenter är samma gemensamma cell i täljaren men alla studenter i nämnaren. Dessa två andelar är vanligtvis olika. Skriv nämnaren med ord innan du sätter in tal.

När grupper överlappar måste du undvika dubbelräkning. Om 30 personer läser engelska, 25 läser matematik och 10 läser båda, är antalet som läser minst ett ämne $30 + 25$ minus 10, alltså 45. De tio i överlappningen räknades annars två gånger. För att få en andel behövs dessutom en angiven helhet, exempelvis alla 60 deltagare, vilket ger $\frac{45}{60}$ eller 75 procent.

Skriv tre korta etiketter: andel, del och helhet. Fyll i de två storheter som är kända och välj sedan operation. Om andelen söks dividerar du del med helhet. Om delen söks multiplicerar du andel med helhet. Om helheten söks dividerar du del med andel. Den lilla uppställningen förhindrar att du väljer operation efter magkänsla.

Översätt procent till ett bråk som passar talen. Tjugofem procent är $\frac{1}{4}, 20$ procent är $\frac{1}{5}, 12{,}5$ procent är $\frac{1}{8}, 75$ procent är $\frac{3}{4}$ och 37,5 procent är $\frac{3}{8}$. På HP ger dessa kopplingar ofta betydligt snabbare huvudräkning än decimalmultiplikation. Använd decimalform när den ger enkel positionsförflyttning och bråkform när faktorer kan förkortas.

Kontrollera tre saker före svar. Är enheterna för del och helhet samma? Är jämförelsebasen rätt? Är storleken rimlig? En del som är mindre än helheten ska ge en andel under 100 procent. En helhet beräknad från en andel under 100 procent ska vara större än delen. Dessa enkla samband fångar både omvänd division och fel nämnare.