Procentuella beräkningar

En procent är en hundradel. Därför är $p$ procent samma tal som $\frac{p}{100}$. Fyrtio procent är $\frac{40}{100}$, som förkortas till $\frac{2}{5}$ och skrivs 0,40 i decimalform. Omvandlingen förändrar inte värdet. Den väljer bara ett skrivsätt som passar beräkningen. Bråkform är ofta bäst när tal kan förkortas, decimalform passar multiplikation och procentform är lättast att tolka i text och diagram.

Procenttal kan vara mindre än en procent och större än 100 procent. En halv procent är $\frac{0{,}5}{100}$ eller 0,005. Etthundrafemtio procent är $\frac{150}{100}$ eller 1,5. Det senare betyder en och en halv gånger jämförelsebasen. Negativa procenttal används vid riktade förändringar, men i uppgifter anges en minskning ofta med ett positivt procenttal och ordet minskar.

Lär dig några exakta kopplingar: 50 procent är $\frac{1}{2}, 25$ procent är $\frac{1}{4}, 20$ procent är $\frac{1}{5}, 10$ procent är $\frac{1}{10}, 12{,}5$ procent är $\frac{1}{8}, 33$ och $\frac{1}{3}$ procent är $\frac{1}{3}$ och 75 procent är $\frac{3}{4}$. Dessa relationer gör huvudräkningen snabb och ger referenspunkter för rimlighetskontroll.

För att beräkna $p$ procent av ett tal multiplicerar du talet med $\frac{p}{100}$. Trettiosex procent av 250 är 250 gånger 0,36. Men huvudräkning kan vara enklare: en procent av 250 är 2,5, och 36 procent är 30 procent plus 6 procent. En annan väg är att skriva $\frac{36}{100}$ gånger 250 och förkorta $\frac{250}{100}$ till $\frac{5}{2}$, vilket ger 36 gånger 2,5, alltså 90.

Bygg procenten från enkla delar. Tio procent fås genom division med 10. En procent fås genom division med 100. Fem procent är hälften av tio procent. Femton procent är tio procent plus fem procent. Två och en halv procent är en fjärdedel av tio procent. Denna metod är särskilt snabb när basen är ett heltal med nollor eller är jämnt delbar.

Om procenten motsvarar ett bekant bråk kan du dela först. För 37,5 procent av 64 ser du att 37,5 procent är $\frac{3}{8}$. Sextiofyra delat med 8 är 8, och 8 gånger 3 är 24. Division före multiplikation håller talen små och minskar risken för decimalfel.

När frågan är hur många procent $a$ är av $b$ beräknar du $\frac{a}{b}$ och omvandlar kvoten till procent. Ordet av pekar ut basen $b$. Om 27 av 45 svar är rätt blir kvoten $\frac{27}{45}$, som förkortas till $\frac{3}{5}$. Tre femtedelar är 0,6 eller 60 procent. Du behöver inte utföra en lång decimaldivision när bråket kan förenklas.

För att omvandla ett bråk till procent kan du försöka skapa nämnaren 100. Bråket $\frac{17}{20}$ förlängs med 5 och blir $\frac{85}{100}$, alltså 85 procent. Om nämnaren inte enkelt når 100 kan du använda ett känt bråk eller division. En tredjedel är exakt 33 och $\frac{1}{3}$ procent, inte exakt 33 procent. Skillnaden kan vara viktig om uppgiften kräver exakt svar.

Kvoten kan överstiga ett. Om 84 jämförs med 70 blir $\frac{84}{70} = 1{,}2$, alltså 120 procent. Det betyder att 84 är 120 procent av 70. Det betyder inte att ökningen är 120 procent. Själva ökningen är 14, och $\frac{14}{70}$ är 20 procent. Skilj nivån från förändringen.

En procentuell förändring beräknas som förändringen delad med det ursprungliga värdet. Förändringen är nytt värde minus gammalt värde. Om ett pris går från 240 till 300 är ökningen 60. Jämförelsebasen är det gamla priset 240, så ökningen är $\frac{60}{240} =\frac{1}{4}$ eller 25 procent. Det nya priset är samtidigt 125 procent av det gamla.

Vid minskning kan du använda minskningens storlek som positiv del. Om ett värde går från 500 till 425 är minskningen 75 och andelen $\frac{75}{500} = 15$ procent. Som riktad förändring kan den skrivas minus 15 procent, men formuleringen minskar med 15 procent använder normalt ett positivt procenttal efter ordet med.

Procentuell förändring är inte symmetrisk. En ökning från 80 till 100 är $\frac{20}{80} = 25$ procent. Minskningen från 100 till 80 är $\frac{20}{100} = 20$ procent. Den absoluta skillnaden är densamma, men basen skiljer sig. Därför upphäver inte en ökning med 25 procent och en minskning med 25 procent varandra.

Om du känner det nya värdet efter en procentuell förändring ska du inte dra bort samma procent av det nya värdet för att hitta originalet. Efter en ökning med 20 procent är det nya värdet 120 procent av det gamla, alltså 1,20 gånger originalet. Originalet fås genom att dividera det nya värdet med 1,20.

Om ett pris efter 20 procents rabatt är 640 kronor motsvarar 640 kronor 80 procent av ursprungspriset. Ursprungsvärdet är $\frac{640}{0{,}80} = 800$ kronor. Att i stället öka 640 med 20 procent ger 768 kronor och blir fel, eftersom de två 20 procenten beräknas på olika baser.

En proportionstabell kan göra baklängesräkningen tydlig. Skriv 80 procent på ena raden och 640 på den andra. En procent är då $\frac{640}{80} = 8$ kronor, och 100 procent är 800 kronor. Metoden är långsammare än divisionsfaktorn men minskar risken att välja fel operation.

När flera förändringar följer på varandra får varje procenttal en ny bas. Därför ska du inte i allmänhet addera procenttalen. En ökning med 10 procent följd av ytterligare 10 procent ger faktorn 1,10 gånger $1{,}10 = 1{,}21$, alltså en total ökning med 21 procent. Den andra ökningen beräknas även på den första ökningen.

En ökning och en lika stor minskning tar inte tillbaka värdet. Om 100 ökar med 20 procent blir det 120. En minskning med 20 procent av 120 är 24, så det nya värdet blir 96. Den sammanlagda faktorn är 1,20 gånger $0{,}80 = 0{,}96$, vilket motsvarar en minskning med 4 procent från startvärdet.

Du kan ibland sammanföra flera faktorer utan att känna startvärdet. En minskning med 30 procent och därefter en ökning med 25 procent ger 0,70 gånger $1{,}25 = 0{,}875$. Slutvärdet är 87,5 procent av startvärdet, alltså 12,5 procent lägre. Detta är en generell metod som behandlas mer fullständigt i lektionen om förändringsfaktor.

Ring in jämförelsebasen innan du räknar. Vid orden ökar från är det första värdet bas. Vid uttrycket $a$ är hur många procent av $b$ är $b$ bas. Vid rabatt är ordinarie pris normalt bas. Den vanligaste orsaken till ett matematiskt snyggt men felaktigt svar är att fel tal hamnar i nämnaren.

Välj huvudräkningsväg efter procenttalet. Använd tiondelar och hundradelar för 10, 5, 1 och liknande procent. Använd bråk för 12,5, 20, 25, 37,5, 50 och 75 procent. Använd förändringsfaktor vid upprepade förändringar eller baklängesproblem. Skriv en enda tydlig rad med bas, andel och resultat så att du kan kontrollera enheten.

Gör en riktad rimlighetskontroll. En rabatt ska ge ett lägre pris. En andel under 50 procent av en positiv helhet ska vara mindre än hälften. Efter en ökning med 15 procent ska svaret ligga nära men över originalet. Om alternativen är glest placerade kan en sådan uppskattning räcka för att eliminera tre svar utan full decimalräkning.