Otillräcklig information i NOG: bevisa med motfall

UHR:s svarsalternativ gör skillnad mellan ett otillräckligt enskilt påstående och en otillräcklig kombination. Tabellen återger den officiella innebörden kortfattat. Ett nej i en separat prövning kan ingå i A, B, C eller E beroende på de övriga testerna.

A innehåller ett bevis för att 2 är otillräckligt, men inte för att 1 är det. B speglar detta. C innehåller två separata bevis för otillräcklighet men ett positivt bevis för kombinationen. E är det enda alternativ där även den största informationsmängden lämnar grundfrågan öppen.

D saknar ett otillräckligt påstående. Båda räcker på egen hand, även om de kan använda helt olika matematiska vägar. Om du hittar ett motfall för något av dem kan D inte vara rätt, förutsatt att motfallet verkligen följer hela basen.

Bokstaven är en följd av bevismönstret. Skriv därför först ja eller nej för varje tillåten prövning. Att minnas att E betyder svårt eller oklart leder fel. E betyder att ett matematiskt bevis för kvarvarande variation finns även efter kombinationen.

NOG frågar vad informationen logiskt bestämmer. Din egen osäkerhet är inte en egenskap hos uppgiften. Ett påstående kan vara tillräckligt även om du inte hittar beviset, och otillräckligt även om du snabbt hittar ett möjligt numeriskt svar.

Byt frågan kan jag lösa till frågan kan två tillåtna fall ge olika svar. Den formuleringen leder till en aktiv undersökning. Du söker antingen en variation som bryter entydigheten eller en generell relation som visar att variationen inte påverkar frågesvaret.

Ett försök som fastnar halvvägs är inget bevis. Om du inte hittar ett motfall ska du inte automatiskt märka ja. Om du inte hittar en unik lösning ska du inte automatiskt märka nej. Växla representation: skriv ett intervall, parameterisera lösningarna, lista heltal eller rita två geometriska konstruktioner.

En tidspressad provsituation kan kräva att du går vidare utan färdig bedömning, men det förändrar inte svarsalternativens innebörd. Vid träning ska du efteråt slutföra beviset och skilja mellan kunskapsbrist, räknefel och verklig otillräcklighet.

Rätt bokstav kan uppstå genom gissning eller en ogiltig möjlighet. Rätta därför beviset, inte bara utfallet. Ett fullständigt nej anger två fall, deras villkorskontroll och de två olika svaren på exakt samma grundfråga.

Ett motfallspar blir säkert när du börjar från frågans kritiska gräns och arbetar bakåt till två tillåtna situationer. Slumpmässiga tal kan missa den variation som faktiskt avgör svaret.

Vid en ja eller nej fråga söker du helst ett fall som ger ja och ett som ger nej. Om frågan är om x är större än 5 kan värden strax under och strax över 5 vara effektiva, förutsatt att båda följer villkoren. Kritiska gränser gör testet målmedvetet.

Vid ett exakt värde räcker två olika tillåtna värden. Vid en jämförelse behöver relationen skifta, exempelvis x > y i ett fall och x < y i ett annat. Likhet kan också vara det andra utfallet om frågan kräver att en bestämd relation fastställs.

Kontrollen är obligatorisk. Sätt in båda fallen i varje ekvation, olikhet, domänregel och villkor från inledningen. Ett snabbt motfall som bryter mot positivitet, heltalskrav eller en geometrisk sats är inte bevis mot påståendet.

Bra motfall är enkla, tydligt tillåtna och placerade så att frågesvaret ändras. De behöver inte beskriva hela lösningsmängden. Två välvalda fall kan avsluta prövningen direkt.

För teckenfrågor testar du positiva och negativa värden om domänen tillåter båda. Glöm inte noll som ett eget möjligt utfall när inget förbjuder det. Ett uttryck kan vara icke negativt utan att vara positivt, och den skillnaden kan avgöra grundfrågan.

För heltal använder du små värden som är lätta att kontrollera, men välj dem inom alla gränser och med rätt delbarhet. Om ett villkor handlar om rest vid division kan två tal ur olika tillåtna restklasser visa variationen tydligt.

För proportioner kan du hålla en summa eller produkt fast och byta fördelningen mellan variabler. Om frågan gäller en enskild variabel skapas olika svar. Om den gäller den fasta summan ger samma par däremot inget motfall, eftersom frågesvaret inte ändras.

För geometri ändrar du en fri dimension medan givna mått och relationer behålls. Två skisser måste stödjas av beräknade eller härledda värden. Att den ena ser större ut är inte tillräckligt, eftersom UHR:s illustrationer inte ska antas vara skalenliga.

Följande är ett eget övningsexempel. Grundfrågan är: Är x större än y? Inledningen anger att x och y är reella tal. Påstående 1 säger att x + y = 10. Påstående 2 säger att xy = 16.

Pröva påstående 1 ensamt. Paret (8, 2) uppfyller summan och ger ja på grundfrågan. Paret (2, 8) uppfyller samma summa och ger nej. Båda följer domänen. Påstående 1 är därför otillräckligt.

Nollställ summan och pröva påstående 2. Även här fungerar (8, 2) och (2, 8), eftersom produkten är 16 i båda fallen. Frågesvaret skiftar mellan ja och nej. Påstående 2 är otillräckligt.

Nu kombineras villkoren. Tal som har summan 10 och produkten 16 är 2 och 8. Ekvationen t² − 10t + 16 = 0 har rötterna 2 och 8, men villkoren bestämmer inte vilket tal som är x och vilket som är y. Både (8, 2) och (2, 8) uppfyller alltså båda påståendena.

De två gemensamma fallen ger olika svar på frågan. Inte ens kombinationen räcker, så prövningsmönstret är nej, nej, nej och svaret är E. Att de två talvärdena som mängd är bestämda hjälper inte, eftersom grundfrågan gäller deras ordning.

En felväg är att lösa andragradsekvationen, skriva x = 8 och y = 2 och stanna. Ekvationen bestämmer endast de två rötterna, inte tilldelningen till variablerna. Den speglade lösningen måste kontrolleras mot frågan innan entydighet kan påstås.

Motfallsmetoden är stark eftersom två giltiga fall räcker. Samma styrka gör villkorskontrollen avgörande. Om ett av fallen bryter mot en enda regel försvinner beviset och informationsläget måste prövas på nytt.

Kontrollera basen först, sedan det aktuella påståendet och sist grundfrågan. Vid kombination kontrolleras båda påståendena i båda fallen. En tabell med två fall som rader och villkor som kolumner gör kontrollen snabb och synlig.

Ett otillåtet nollvärde är särskilt lätt att missa när ett uttryck har förenklats genom förkortning. Skriv ursprungliga definitionsvillkor innan faktorer tas bort. Ett värde som fungerar i det förenklade uttrycket kanske inte fanns i den ursprungliga uppgiften.

I geometri är negativa längder ogiltiga och utsatta relationer måste bevaras. UHR:s konventioner anger att geometriska storheter är större än noll och att figuren inte ger extra skalenlig information. Ett visuellt möjligt motfall behöver därför också en matematisk konstruktion.

Motfall måste ändra frågesvaret. Om variablerna varierar men den efterfrågade egenskapen förblir densamma är informationen tillräcklig för just den frågan. Detta är den viktigaste kontrollen mot ett för snabbt nej.

Anta att påståendet ger x + y = 10 och grundfrågan är vad x + y är. Oändligt många reella par är möjliga, men summan är 10 i samtliga. Att visa två olika par är då inte ett motfall, eftersom båda besvarar frågan likadant.

Om frågan i stället gäller x är samma information otillräcklig. Paren (2, 8) och (7, 3) ger olika x. Informationsmängden är oförändrad men frågans mål gör att beslutet skiftar.

Vid en ja eller nej fråga kan en hel intervallmängd ligga på samma sida om gränsen. Om villkoret ger x > 7 och frågan är om x är positivt räcker informationen, trots att exakt x är okänt. För att visa otillräcklighet skulle du behöva ett tillåtet icke positivt värde, och det finns inget.

Skriv därför motfallen med en sista kolumn för frågesvar. Om kolumnen blir identisk har du bara visat flera lösningar, inte flera svar. Byt fall eller undersök om påståendet faktiskt är tillräckligt.

Motfallsstrukturen är densamma, men den synliga variationen ska matcha grundfrågans svarstyp. Välj fallen så att skillnaden blir omedelbar och inte kräver en ny tolkning.

Två separata nej räcker inte för E. De öppnar bara kombinationsprövningen. För att välja E måste du visa att variationen finns kvar när inledningen och båda påståendena gäller samtidigt.

Det första motfallspar du använde för påstående 1 kan bryta mot påstående 2. Det andra paret kan bryta mot påstående 1. Då visar paren korrekt att de enskilda påståendena inte räcker, men de säger inget om snittet.

Bygg därför ett tredje par för kombinationen. Märk båda fallen G + 1 + 2 och kontrollera varje villkor. Skriv sedan de olika frågesvaren. Om du inte hittar ett sådant par kan kombinationen vara tillräcklig och svaret C, även om båda separata påståendena var otillräckliga.

I det genomarbetade exemplet överlever samma två par alla tre tester, men det är inte ett krav. I andra uppgifter behöver separata och gemensamma motfall vara helt olika. Bevisets giltighet avgörs av villkoren, inte av om samma siffror återanvänds.

När kombinationen lämnar få diskreta fall kan en fullständig lista ersätta motfallssökningen. Om alla ger samma svar är det C. Om minst två ger olika svar väljer du ut dessa som det slutliga beviset för E.

Två kontrollerade motfall kan vara kortare än en full lösning av alla möjliga fall. Det gör metoden särskilt användbar i NOG, där UHR anger sex uppgifter och rekommenderar tio minuter inom ett kvantitativt provhäfte på 55 minuter.

Sök först den variation som frågan bryr sig om. Vid tecken testar du tecken, vid ordning byter du variablernas roller och vid exakt värde väljer du två enkla tillåtna värden. Stanna när båda fallen har klarat villkorskontrollen och frågesvaren skiljer sig.

För en fellogg med koderna inget bevis, ogiltig domän, tappat villkor, samma frågesvar och ofullständigt E. Koden inget bevis används när ett nej bara byggde på att lösningen kändes öppen. Samma frågesvar används när variabler varierade men frågans mål var konstant.

Träna motfall utan tid genom att kräva en liten tabell för varje nej. Lägg därefter till en tidsgräns och behåll tabellens tre kärnor: fall, villkorskontroll och frågesvar. Om notationen förkortas får ingen av dessa logiska delar försvinna.

Öva även positiva beslut. Försök aktivt hitta motfall mot ett påstående som faktiskt räcker och formulera sedan varför försöken måste misslyckas. Den växlingen hindrar att motfallsmetoden blir en vana att alltid välja nej.

Tolv svar om motfall, domän, flera lösningar och det fullständiga beviset för E.