Otillräcklig information i KVA

KVA bygger ofta på att exakta värden är onödiga. Gemensamma termer, positiva faktorer, kvadrater och algebraiska identiteter kan bestämma relationen för alla tillåtna värden.

Om båda kvantiteterna innehåller samma term kan den tas bort. Jämförelsen mellan $x+7$ och $x+3$ är samma som mellan 7 och 3. Kvantitet I är större för alla reella $x$. Att $x$ är okänt påverkar inte skillnaden, eftersom det bidrar lika mycket till båda.

Om Kvantitet I är $2x$ och Kvantitet II är $x$ räcker villkoret $x>0$ för att I ska vara större. Om villkoret är $x<0$ blir II större. Om tecknet saknas kan relationen variera. Det exakta beloppet är alltså mindre viktigt än den egenskap som avgör hur multiplikationen påverkar ordningen.

Kvadraten $(x-y)^2$ är alltid icke negativ. Om den ena kvantiteten är $(x-y)^2+1$ och den andra är 0 är den första alltid större, även om varken $x$ eller $y$ är känd. En algebraisk form med säkert tecken kan därför ersätta alla testvärden.

Identiteter bestämmer likhet. Uttrycken $2(x+1/2)$ och $2x+1$ är samma för alla $x$. Om en given ekvation bara säger att dessa är lika tillför den ingen begränsning på $x$. Men om kvantiteterna själva är de två uttrycken är relationen alltid C. Tolka vilken del som är villkor och vilken del som jämförs.

Ett starkt andra fall varierar just den egenskap som kan ändra relationen: tecken, intervall, ordning, delbarhet eller figurens form. Övriga villkor hålls intakta.

Om uttrycket innehåller $x(x-1)$ och villkoret är $x>0$ ligger brytpunkten vid 1. Välj $x=1/2$, vilket ger en negativ produkt, och $x=2$, vilket ger en positiv. Värdena ligger på olika sidor om brytpunkten. Två stora positiva heltal hade båda gett samma tecken och dolt variationen.

Om variabler bara ordnas relativt en tredje variabel kan du byta deras inbördes position. Villkoren $x>y$ och $z>y$ tillåter både $x>z$ och $z>x$. Håll $y=0$ och välj först $x=2,z=1$, sedan $x=1,z=2$. Båda fall är enkla att kontrollera och ger olika jämförelse.

Vid heltalsvillkor behöver fallen också vara heltal. Om entalssiffran är dubbelt så stor som tiotalssiffran och fyra gånger hundratalssiffran kan flera tresiffriga tal behöva prövas. Skriv siffervillkoren systematiskt och kontrollera att hundratalssiffran inte är noll. Ett exempel som råkar bli tvåsiffrigt är ogiltigt.

I geometri kan du behöva flytta en punkt eller ändra sidlängder inom givna villkor. Beskriv vad som hålls fast och vad som varierar. Om en rektangel har två inre punkter med en enda längdrelation kan vinklarna kanske ändras. Två möjliga figurer med olika vinkelordning visar då D, men skissen måste respektera rektangelns räta vinklar och de givna längderna.

I KVA betyder D att informationen inte räcker för att avgöra om I är större, II är större eller de är lika. Det är en matematisk slutsats med beviskrav, inte en markering för osäkerhet.

Om du inte hinner lösa uppgiften vet du inte att D är rätt. Du har bara ett obesvarat problem. För att välja D behöver du visa variation eller beskriva varför villkoren lämnar en frihet som kan ändra relationen. Två konkreta fall är ofta det snabbaste och tydligaste beviset.

D kan uppstå genom A och B i olika fall, A och C, B och C eller alla tre relationer. Du behöver bara två olika utfall. Om ett fall ger I större och ett annat lika räcker det. Sök inte nödvändigtvis motsatt strikt ordning om likhetsfallet redan förändrar svaret.

En okänd men gemensam term leder ofta inte till D. Om båda kvantiteterna ökar lika mycket när variabeln ändras bevaras deras skillnad. En fri variabel leder till D först när dess variation kan påverka relationen. Fokusera därför på skillnaden eller kvoten mellan kvantiteterna, inte på antalet okända symboler.

Översätt slutsatsen till bokstaven sist. Skriv först varierar eller två utfall. Koppla sedan detta till D. Den ordningen minskar risken att du behandlar D som ett eget numeriskt alternativ. Svarskartan är en kod för den relation du redan har bevisat.

När testvärden känns osystematiska kan du bilda skillnaden mellan kvantiteterna. Om skillnaden kan vara positiv, noll och negativ över de tillåtna värdena varierar relationen.

För I $=x^2$ och II $=x$ är skillnaden $x^2-x=x(x-1)$. Utan villkor kan produkten vara positiv, noll eller negativ. Vid $x=2$ är I större, vid $x=1$ lika och vid $x=1/2$ II större. Skillnadens faktorer visar både brytpunkter och lämpliga fall.

För I $=(x+1)^2$ och II $=x^2+1$ är skillnaden $2x$. Om $x>0$ är I större, om $x=0$ lika och om $x<0$ är II större. Ett enda teckenvillkor på $x$ skulle kunna låsa relationen. Saknas det ger teckenkartan direkt två fall.

Om skillnaden förenklas till en kvadrat plus ett positivt tal kan D uteslutas. Exempelvis är $(x-y)^2+1$ alltid minst 1. Då är I större om detta är I minus II. Testvärden behövs inte, och flera okända variabler förändrar inte det säkra tecknet.

En kvot kan användas när kvantiteterna är positiva. Om I delat med II alltid är större än 1 är I större. Om kvoten kan ligga på båda sidor om 1 varierar relationen. Använd inte kvotmetoden när II kan vara noll eller negativ utan att först dela upp fallen.

D väljs ofta av fel anledning. De vanligaste skälen är okänt tal, komplicerad figur, flera variabler och att två egna testvärden råkar ge olika resultat trots att ett bryter mot villkoren.

Okänt tal är inte tillräckligt. Om båda kvantiteterna är $x+5$ är de lika. Om I är $x+5$ och II $x+2$ är I större. Börja med förenkling. Fråga sedan om den okända delen verkligen påverkar skillnaden mellan kvantiteterna.

En figur som inte är skalenlig är inte automatiskt obestämd. Markeringar, parallellitet, räta vinklar och satser kan låsa relationen exakt. Använd geometriska villkor först. Pröva två former bara om det finns en verklig frihet som bevarar alla givna egenskaper.

Flera variabler betyder inte flera möjliga relationer. Uttrycket $(x-y)^2$ är icke negativt för alla $x$ och $y$. En gemensam faktor kan också förenklas om dess tecken är känt. Räkna inte symboler. Undersök vilka egenskaper som fortfarande är fria efter villkoren.

Ett ogiltigt fall kan skapa ett falskt D. Kontrollera heltalskrav, positiva krav, nämnare och figurvillkor för varje test. Skriv en liten bock vid villkorsraden innan relationen används. Om ett fall faller bort behöver du hitta ett nytt giltigt fall, inte behålla slutsatsen.

En balanserad träning innehåller frågor där en fri variabel ger D och frågor där samma typ av fri variabel försvinner genom förenkling. Då lär du dig beviskravet i stället för att associera symboler med en bokstav.

Gör par av uppgifter. I den första kan skillnaden bli både positiv och negativ. I den andra förenklas skillnaden till ett positivt uttryck. Skriv två fall för den första och ett generellt argument för den andra. Jämför vilken egenskap i villkoren som gör besluten olika.

Registrera D fel i tre kategorier: ogiltigt motfall, missad förenkling eller ofullständigt andra fall. För varje fel skriver du en reparationsfråga. Det kan vara är värdet tillåtet, kan gemensamma termer tas bort eller vilken brytpunkt måste passeras. Använd frågan i nästa serie.

Under provet ska ett D bevis kunna uttryckas på två korta rader. Om du inte kan visa de två utfallen ännu är uppgiften inte avgjord. Markera och återkom med skillnadsmetoden eller ett nytt gränsfall. Undvik att spendera tid på tredje och fjärde fallet när två olika redan finns.

Sidans två publicerade KVA frågor tränar siffervillkor och en identitet som inte bestämmer variabeln. Efter ditt svar visas full textförklaring och en kvantitativ videolösning när en verifierad video finns. Jämför vilka två tillåtna fall som lösningen använder och om din förenkling kunde ha gjort dem enklare att hitta.