Vad är en funktion?

Tänk på en funktion som en noggrant bestämd regel. Du väljer ett tillåtet värde, funktionen behandlar värdet enligt regeln och lämnar ett enda resultat. Om regeln är $f(x) = 3x + 2$ och du matar in $x = 4$ blir resultatet 14. Samma invärde får inte ibland ge 14 och ibland ge 19. Det är just entydigheten som skiljer en funktion från en allmän samling par eller en osäker beskrivning. Olika invärden får däremot gärna ge samma utvärde. Funktionen $f(x) = x^{2}$ ger till exempel utvärdet 9 både när $x = 3$ och när $x = -3$.

Bokstaven $f$ är bara funktionens namn. Parentesen i $f(x)$ anger vilket värde regeln ska användas på. Uttrycket $f(4)$ betyder därför inte $f$ multiplicerat med 4. Det betyder funktionens värde när invärdet är 4. På högskoleprovet kan funktionen heta $g, h$ eller något helt annat. Läs alltid symbolen som en fråga: vilket utvärde ger den här regeln för det angivna invärdet? När du översätter symbolerna till den meningen minskar risken för slentrianfel betydligt.

I en modell väljer man ofta en oberoende variabel och en beroende variabel. Den oberoende variabeln är den storhet som får styra modellen. Den beroende variabeln är resultatet. Om en cykeluthyrning kostar 80 kronor i startavgift och 35 kronor per timme kan tiden $t$ vara invärde och kostnaden $K(t)$ utvärde. Då är $K(t) = 80 + 35t$. Kostnaden beror på tiden, inte tvärtom i den modell vi har valt. Enheter är en del av betydelsen: $t$ mäts i timmar och $K(t)$ i kronor.

Valet av variabler ska följa frågan. Ibland vill man i stället veta hur lång tid en viss summa räcker. Då behöver man lösa ekvationen $80 + 35t =$ den givna summan. Det ändrar inte den ursprungliga funktionen, men man arbetar baklänges från ett utvärde. På provet kan formuleringen vara viktigare än symbolerna. Fråga först vad som får variera och vad som förändras när det varierar. Skriv därefter en tydlig rad med betydelse och enhet för varje variabel. Den lilla investeringen förhindrar att pris, antal, tid och sträcka blandas ihop.

Definitionsmängden är mängden av invärden som funktionen får använda. Värdemängden är de utvärden som faktiskt kan uppstå. För funktionen $f(x) =\frac{1}{x}$ får $x$ inte vara 0, eftersom division med 0 saknar definition. För funktionen $g(x) = \sqrt{x}$ inom de reella talen måste $x$ vara minst 0. I en verklig modell kan sammanhanget begränsa mer än själva uttrycket. Om $x$ står för antal biljetter kan $x$ normalt vara ett heltal som inte är negativt, även om formeln också går att beräkna för $x = 2{,}5$ eller $x = -4$.

På högskoleprovet skrivs definitionsmängden inte alltid ut. Den kan ligga dold i texten eller grafens markerade intervall. En graf som bara visas från $x = 0$ till $x = 10$ berättar inte automatiskt vad som händer utanför intervallet. En fylld punkt betyder vanligtvis att ändpunkten ingår, medan en öppen punkt betyder att den inte ingår. Läs därför axlar, enheter, ändpunkter och eventuella villkor innan du extrapolerar. Att mekaniskt sätta in ett värde som modellen förbjuder kan ge ett korrekt räknearbete men ett ogiltigt svar.

Ett samband förändras inte bara för att representationen gör det. Regeln att en storhet börjar på 10 och ökar med 3 för varje steg kan skrivas $f(x) = 10 + 3x$. I en tabell ser du par som $(0, 10)$, $(1, 13)$ och $(2, 16)$. I ett koordinatsystem ligger samma par på en rät linje. Med ord kan sambandet beskrivas som ett startvärde på 10 och en konstant ökning på 3. En stark problemlösare kan röra sig mellan dessa fyra språk utan att tappa vad talen betyder.

Varje representation har sin styrka. Ett uttryck är effektivt för exakta beräkningar. En tabell gör enskilda värdepar tydliga. En graf visar helhetsform, förändring och skärningar. En text förankrar variabler och enheter. På provet väljer du representation efter frågan. Om du bara behöver $f(8)$ är uttrycket ofta snabbast. Om du ska avgöra när två kostnader är lika kan en grafisk skärning eller en ekvation vara bättre. Översätt bara så långt som behövs och kontrollera ett värdepar när du byter form.

När en text beskriver ett samband behöver du skilja på det som finns från början och det som förändras. En fast avgift, ett begynnelsevärde eller en startsträcka hamnar som en konstant term. Ett pris per styck, en hastighet eller en ökning per tidsenhet multipliceras med den variabel som räknar antal steg. Formuleringen 120 kronor i grundavgift och 18 kronor per kilometer blir $K(x) = 120 + 18x$, där $x$ är antal kilometer. Ordningen i texten är oviktig; betydelsen bestämmer uttrycket.

Gör alltid en rimlighetskontroll vid $x = 0$. Om $x = 0$ kilometer ska kostnaden enligt modellen vara grundavgiften 120 kronor. Kontrollera sedan ett enkelt steg: vid $x = 1$ ska kostnaden ha ökat med 18. De två kontrollerna avslöjar om du har bytt plats på startvärde och förändringstakt. Om sambandet inte har konstant förändring krävs en annan funktionstyp. Ett värde som multipliceras med samma faktor varje period hör till en exponentialfunktion, medan en konstant addition per period ger en linjär funktion.

Frågan $f(a) = 17$ kan handla om vilket utvärde ett känt invärde ger, men frågan $f(x) = 17$ handlar i stället om vilket invärde som ger utvärdet 17. Skillnaden är central. Om $f(x) = 3x + 2$ löser du $3x + 2 = 17$ och får $x = 5$. Grafiskt söker du den punkt där grafens höjd är 17 och läser av motsvarande $x$ värde. I en tabell letar du efter 17 i utvärdeskolumnen.

Det kan finnas inget, ett eller flera invärden som ger samma önskade utvärde. En strikt växande linjär funktion ger högst ett. En andragradsfunktion kan ge två, eftersom en vågrät nivå kan skära en parabel på två ställen. Detta bryter inte mot funktionsdefinitionen. Definitionen förbjuder att ett invärde har flera utvärden, men den förbjuder inte att flera invärden delar utvärde. Håll alltså riktningen klar: från $x$ till $y$ ska svaret vara entydigt, medan vägen tillbaka kan förgrena sig.

Börja med frågans mål, inte med all information. Ring mentalt in det invärde eller utvärde som efterfrågas. Markera sedan vad symbolerna betyder och notera enheterna. Om ett uttryck ges sätter du in värdet med parentes, särskilt om värdet är negativt eller består av flera termer. Om en tabell eller graf ges letar du efter rätt riktning på avläsningen. För $f(3)$ går du från $x = 3$ till grafen och vidare till $y$ axeln. För $f(x) = 3$ går du från höjden 3 till grafen och vidare till $x$ axeln.

Svarsalternativen kan användas som kontroll men ska inte ersätta förståelsen. Eliminera alternativ med fel enhet, orimligt tecken eller storleksordning. Om modellen beskriver en positiv kostnad kan ett negativt svar ofta strykas direkt. Vid textproblem testar du gärna $x = 0$ för att identifiera startvärdet. Lägg sedan in det efterfrågade värdet. Skriv en kort mellanrad i stället för att göra flera operationer i huvudet. Högskoleprovet belönar snabbhet, men den säkraste snabbheten kommer från en rutin som hindrar omräkning.

I en tabell granskar du om samma invärde förekommer med olika utvärden. Paren $(2, 5)$ och $(2, 9)$ kan inte båda tillhöra samma funktion, eftersom invärdet 2 då får två svar. I en graf kan du använda den lodräta linjens test: tänk dig en lodrät linje som flyttas över grafen. Om den skär relationen på mer än ett ställe vid något $x$ värde är relationen inte grafen till en funktion av $x$. En cirkel misslyckas, eftersom många lodräta linjer skär cirkeln två gånger.

Kontrollen måste göras inom den angivna definitionsmängden. En relation kan vara en funktion på ett begränsat intervall även om en större kurva inte är det. Tänk också på att en handritad graf bara är en bild av sambandet. Läs fyllda och öppna ändpunkter noga. Två delar som möts vid samma $x$ värde kan tillsammans vara en funktion om bara en av punkterna ingår. Den andra kan markeras öppen. Den exakta markeringen avgör alltså om invärdet får ett eller två utvärden.