Substitutionsmetoden för ekvationssystem

Om $y = 2x + 3$ vet vi att varje förekomst av $y$ kan bytas mot hela uttrycket $2x + 3$. I ekvationen $x + y = 12$ blir det $x + (2x + 3) = 12$. Nu finns bara $x$ kvar. Efter att $x$ har lösts använder du en av ursprungsekvationerna för att bestämma $y$.

Parentesen runt det insatta uttrycket är viktig, särskilt om det står en koefficient eller ett minustecken framför variabeln. I $4x - 2y = 5$ ska $y = x + 1$ ge $4x - 2(x + 1) = 5$. Utan parentes skulle bara $x$ delen multipliceras korrekt.

Om ingen variabel är isolerad börjar du med att lösa ut en. I $3x + y = 11$ är $y = 11 - 3x$ omedelbart. I $2x - 5y = 7$ kan $x$ isoleras som $x =\frac{7 + 5y}{2}$, men det ger bråk. Om den andra ekvationen har en variabel med koefficient 1 eller $-1$ kan den vara ett bättre val.

Målet är inte alltid att isolera $y$. Välj $x$ om det blir enklare. Tecknet framför variabeln måste hanteras. Från $x - y = 4$ följer $-y = 4 - x$ och $y = x - 4$. Att skriva $y = 4 - x$ utan att byta alla tecken är ett vanligt fel.

Med $y = 14 - 3x$ och $2x - 4y = -8$ får du $2x - 4(14 - 3x) = -8$. Distribuera $-4$ till båda termerna: $2x - 56 + 12x = -8$. Då är $14x = 48$ och $x =\frac{24}{7}$. Bråket är giltigt även om det inte ser bekvämt ut.

Skriv ett steg per rad. Först substitution, sedan parentesutveckling, sedan samla termer. Om du försöker göra alla tre i huvudet ökar risken att $-4 \cdot (-3x)$ blir $-12x$ i stället för $+12x$. Teckenreglerna är en del av metoden, inte en detalj efteråt.

Sätt det lösta värdet i den enklaste ursprungsekvationen eller i det korrekta isolerade uttrycket. Om $x = 3$ och $y = 2x + 3$ blir $y = 9$. Undvik en komplicerad ekvation med flera koefficienter om en enklare finns. Detta minskar räknearbetet.

Skriv lösningen som ett ordnat par eller två tydliga likheter. Om variablerna beskriver saker ska du översätta tillbaka till deras betydelse och enheter. Ett algebraiskt $y = 9$ kan betyda nio biljetter, nio kronor eller nio timmar beroende på modellen.

En lösning till systemet måste göra båda ursprungsekvationerna sanna. Sätt in $x$ och $y$ i den första och kontrollera vänsterled mot högerled. Upprepa i den andra. Kontrollera originalet, inte bara det isolerade uttrycket, eftersom isoleringen kan innehålla ett teckenfel.

Om en ekvation stämmer men den andra inte gör det har du inte en systemlösning. Felet finns ofta i parentesutvecklingen eller återinsättningen. Om båda misslyckas kan ett tidigare algebrafel ha uppstått. Kontrollraderna lokaliserar felet snabbare än att läsa hela lösningen på nytt.

Ibland försvinner variabeln helt. Om substitution leder till $0 = 5$ är villkoren motsägelsefulla och systemet saknar lösning. Om den leder till $0 = 0$ beskriver ekvationerna samma samband och det finns oändligt många lösningar längs en linje.

Exempelvis $y = 2x + 1$ och $2y = 4x + 2$ ger efter substitution $2(2x + 1) = 4x + 2$, alltså $4x + 2 = 4x + 2$. Varje punkt på den första linjen uppfyller båda. Slutsatsen är inte att $x = 0$, utan att ingen unik variabel bestäms.

Låt variablerna representera tydliga antal eller storheter. Om $x$ är antal vuxenbiljetter och $y$ barnbiljetter kan totalantalet ge $x + y = 28$. Om priserna är 120 respektive 70 kronor och intäkten 2 610 kronor blir $120x + 70y = 2610$. Den första ekvationen kan isoleras som $y = 28 - x$ och substitueras.

Efter lösning kontrollerar du att antal är icke negativa heltal och att både totalantal och intäkt stämmer. Ett matematiskt bråksvar på antal biljetter visar att modellen, talen eller tolkningen behöver granskas. I andra sammanhang, som liter eller tid, kan bråk vara fullt rimliga.

Om isoleringen ger $x =\frac{3y + 5}{4}$ ska hela bråket ersätta $x$. I $2x - y = 7$ får du $2 \cdot \frac{3y + 5}{4} - y = 7$. Förenkla $\frac{2}{4}$ eller multiplicera hela ekvationen med $2$: $3y + 5 - 2y = 14$. Då $y = 9$ och $x =\frac{27 + 5}{4} = 8$. Båda värdena är exakta.

Att rensa nämnare är en ekvivalent operation när varje term på båda sidor multipliceras med samma gemensamma nämnare. Gör det först efter att det insatta uttrycket har fått tydliga parenteser. Decimalomvandling tidigt kan göra ett exakt tredjedelsvärde till en avrundad kandidat som inte längre klarar originalkontrollen.

Om systemet skrivs $y = f(x)$ och $y = g(x)$ betyder substitution att de två uttrycken måste vara lika i skärningen. Du löser därför $f(x) = g(x)$. Det $x$ värdet anger var graferna har samma höjd, och återinsättning ger den gemensamma $y$ koordinaten. Metoden är alltså en exakt beräkning av samma punkt som den grafiska metoden visar.

Perspektivet förklarar specialfallen. Om $f(x) = g(x)$ förenklas till en identitet sammanfaller linjerna. Om den blir en motsägelse är de parallella. Om ett unikt $x$ återstår har linjerna en skärning. En snabb grafskiss kan därför förutsäga vilken typ av algebraisk slutrad som är rimlig och avslöja om ett teckenfel har gett fel fall.

Systemet $2x + y = 9$ och $5x - 3y = 1$ kan lösas genom att isolera $y = 9 - 2x$ i första ekvationen. Att i stället isolera $x =\frac{9 - y}{2}$ skapar bråk redan före substitution. Båda vägarna är korrekta, men den första ger $5x - 3(9 - 2x) = 1$ och därmed heltalskoefficienter genom hela beräkningen.

Jämför därför koefficienten 1 eller $-1$ framför varje variabel och se vilket isolerat uttryck som blir kortast. Ta också hänsyn till den andra raden: ett uttryck som ska multipliceras med $-3$ kräver extra teckenomsorg. En bra riktning minskar inte bara antal steg utan också antalet parenteser och nämnare som kan ge fel.

Efter korrekt substitution ska den bearbetade ekvationen innehålla endast en av de ursprungliga variablerna. Om både $x$ och $y$ fortfarande finns har inte varje förekomst av den ersatta variabeln bytts ut, eller så har uttrycket satts in i fel rad. Stanna innan du förenklar vidare. Den enkla strukturkontrollen hittar fel tidigare än en slutlig insättning och är särskilt värdefull när samma variabel förekommer på båda sidor.

Skanna efter en variabel med koefficient 1 eller $-1$. Isolera den och ringa in hela ersättningsuttrycket. Sätt parentes kring uttrycket vid substitution. Förenkla en operation i taget, lös den återstående variabeln och använd den enklaste ekvationen för den andra.

Om isoleringen skapar onödiga bråk kan additionsmetoden vara snabbare. Om ett svarsalternativ ger ett färdigt par kan direkt insättning i båda ekvationerna vara snabbast. Oavsett väg ska slutparet kontrolleras i båda originalen och mot eventuella villkor i texten.