Additionsmetoden för ekvationssystem

Om systemet är $x + y = 11$ och $2x - y = 4$ kan ekvationerna adderas ledvis. Vänsterleden ger $3x + 0y$ och högerleden 15. Då är $3x = 15$ och $x = 5$. Variabeln $y$ har inte antagits vara 0; det är summan $y + (-y)$ som är 0.

Ledvis addition bevarar varje gemensam lösning eftersom lika stora vänsterled adderas på samma sätt som högerled. Skriv variablerna i samma ordning och placera likhetstecknen under varandra. Saknas en variabel i en ekvation kan du tänka koefficienten 0.

Om koefficienterna är lika snarare än motsatta kan du subtrahera den ena ekvationen från den andra. För $3x + 2y = 16$ och $3x - y = 7$ ger första minus andra: $3x - 3x + 2y - (-y) = 16 - 7$. Då är $3y = 9$ och $y = 3$.

Parentesen kring hela raden som subtraheras är viktig. Alla tecken i den raden påverkas. Ett säkert alternativ är att först multiplicera den andra ekvationen med $-1$ och sedan addera. Då blir $-3x + y = -7$, vilket tillsammans med första ger samma $3y = 9$.

Om ingen variabel kan elimineras direkt får du multiplicera alla termer i en ekvation med samma icke noll tal. Systemet $x + 2y = 7$ och $3x + y = 11$ kan lösa $y$ genom att multiplicera den andra ekvationen med $-2$: $-6x - 2y = -22$. Addera med den första och få $-5x = -15$, alltså $x = 3$.

Multiplikationen måste omfatta båda leden och varje term. Att bara multiplicera koefficienten framför $y$ förändrar lösningsmängden och är inte en ekvivalent radoperation. Skriv den nya hela raden separat innan du adderar. Välj multiplikator som håller talen små.

För $2x + 3y = 12$ och $5x - 2y = 1$ kan $y$ elimineras genom minsta gemensamma multipel 6. Multiplicera första ekvationen med 2 och den andra med 3. Då får du $4x + 6y = 24$ och $15x - 6y = 3$. Addition ger $19x = 27$.

Du kan också eliminera $x$ genom faktorerna 5 och $-2$, men talen kan bli jämförbara. Välj den variabel vars koefficienter kräver minsta multiplikationer och helst skapar heltal. Att först förkorta en ekvation med en gemensam faktor kan göra valet enklare.

När en variabel är löst sätter du in den i en ursprungsekvation. Välj den med små koefficienter eller en koefficient 1. Om $x = 3$ i $x + 2y = 7$ får du $y = 2$ direkt. Om du i stället använder den skalade raden fungerar den också, men större tal ger fler felmöjligheter.

Kontrollera slutparet i båda originalekvationerna, inte bara i de multiplicerade raderna. De skalade raderna är ekvivalenta när de skapats korrekt, men originalkontrollen kan avslöja att en konstant glömdes i multiplikationen.

Om båda variablerna försvinner och du får $0 =$ ett icke noll tal är systemet motsägelsefullt och saknar lösning. Exempelvis $x + y = 3$ och $2x + 2y = 10$ ger efter att första multiplicerats med $-2$ relationen $0 = 4$.

Om resultatet blir $0 = 0$ är ekvationerna beroende och beskriver samma linje. Då finns oändligt många lösningar. Exempelvis $x + y = 3$ och $2x + 2y = 6$. Slutsatsen är inte att $x$ och $y$ båda är 0, utan att en oberoende ekvation saknas för en unik punkt.

Definiera variabler och bygg två oberoende villkor. Om två paket av typ $A$ och tre av typ $B$ väger $19\,\mathrm{kg}$ får du $2x + 3y = 19$, där $x$ och $y$ är vikterna per pakettyp. Om tre $A$ och två $B$ väger $21\,\mathrm{kg}$ får du $3x + 2y = 21$. Systemet kan elimineras genom att skala raderna.

Efter lösningen ska enheter och rimlighet kontrolleras. Negativ vikt eller ett icke helt antal personer kan avslöja fel modell eller algebra, medan decimalvikt kan vara rimlig. Sätt alltid värdena tillbaka i båda originalvillkoren och formulera ett svar i ord.

Ekvationen $0{,}5x + 0{,}25y = 3$ kan multipliceras med 4 och skrivas $2x + y = 12$. På samma sätt blir $\frac{x}{3} - \frac{y}{2} = 1$ efter multiplikation med 6 till $2x - 3y = 6$. Hela ekvationen beskriver samma linje eftersom varje term på båda sidor skalas med samma icke noll tal.

Normalisera varje rad separat och kontrollera särskilt konstanten. Syftet är små tydliga heltal, inte största möjliga koefficienter. Efter att nämnare rensats kan en gemensam faktor ibland förkortas. Två rader som först ser olika ut kan då avslöjas som identiska eller parallella innan någon ytterligare räkning behövs.

Additionsmetoden behöver inte alltid sluta med $x$ eller $y$. Om frågan söker $3x + y$ kan du kombinera ekvationerna så att just de koefficienterna uppstår. Med $x + y = 8$ och $x - y = 2$ ger två gånger den första plus en gång den andra: $2(x + y) + (x - y) = 16 + 2$. Vänsterledet blir $3x + y$, så den efterfrågade storheten är 18.

Detta sparar återinsättning och kan vara avgörande under tidspress. Multiplikatorerna måste dock tillämpas på hela raderna. Kontrollera att den linjära kombinationen på vänster sida exakt matchar frågans uttryck och att samma kombination av högerled används. Om frågan senare kräver de enskilda variablerna måste systemet lösas vidare.

Om $y$ koefficienterna är 6 och 9 är minsta gemensamma positiva multipel 18. Multiplicera den första raden med 3 och den andra med $-2$ för att få $18y$ och $-18y$. Att använda 54 skulle också eliminera $y$ men skapa onödigt stora tal. Små koefficienter gör både addition och återinsättning säkrare.

Jämför $x$ paret och $y$ paret innan du väljer. Om $x$ koefficienterna är 4 och 10 kräver de multipeln 20, medan $y$ paret 6 och 9 kräver 18. Det betyder inte automatiskt att $y$ är bäst, eftersom övriga koefficienter också skalas, men det är en bra första bedömning. Förkorta varje rad med gemensam faktor innan planeringen så att multiplarna inte blir större än nödvändigt.

Innan du löser den återstående ekvationen kontrollerar du kolumnen som skulle försvinna. Koefficienterna ska summera till exakt 0. Om du får $y$ eller $-2y$ kvar har multiplikator eller tecken valts fel. Kontrollera också att högerleden kombinerats med samma addition eller subtraktion. Denna radkontroll tar några sekunder och hindrar att ett planeringsfel utvecklas till ett trovärdigt men felaktigt lösningspar.

Ordna båda ekvationerna som $ax + by = c$. Skanna koefficienterna lodrätt. Om ett par redan är motsatt adderar du. Om de är lika subtraherar du. Annars väljer du minsta enkla multiplikatorer. Skriv varje skalad ekvation som en ny hel rad och kontrollera att även konstanten multiplicerats.

Efter elimination löser du en variabel, återinsätter i den enklaste originalraden och kontrollerar båda. Om ett svarsalternativ erbjuder färdiga par kan direkt test vara snabbare. Om substitution kräver färre steg ska du välja den i stället. Metoden är ett verktyg, inte ett krav.