Högskoleprovet VT 2012, Provpass 5, uppgift 8

XYZ uppgift 8. Hela lösningen.

Läs uppgiften i HPKursens riktiga frågevy. Följ sedan resonemanget steg för steg och fortsätt direkt med fler uppgifter från samma delprov.

Visa uppgift och lösning

Provtillfälle: VT 2012
Placering: Provpass 5, uppgift 8
Delprov: XYZ

Uppgiften i originalformat

Se frågan och det rätta svaret.

Fråga 8 av 40

Fullständig lösning

I den rätvinkliga triangeln $ABC$ är $DE$ parallell med $AB$ . $AB$ är $20$ cm. $DE$ är $12$ cm och $AD$ är $40$ cm. Hur lång är $\boldsymbol{CD}$ ?

Så löser du uppgiften

Kärnidé

När en linje är parallell med en sida i en triangel blir den lilla triangeln likformig med den stora, så förhållandet mellan motsvarande sidor är konstant.

Lösning

I figuren är

\angle A

rät, och

DE

är parallell med

AB

. Då är trianglarna

CDE

och

CAB

likformiga (de har samma vinkel vid

C

och en vinkelpar från parallellitet).

Motsvarande sidor ger förhållandet

\frac{DE}{AB}=\frac{CD}{CA}

Sätt in längderna

DE=12

och

AB=20

\frac{12}{20}=\frac{3}{5}

. Alltså

\frac{CD}{CA}=\frac{3}{5}

vilket betyder

CD=\frac{3}{5}CA

Samtidigt ligger punkterna på samma linje

A-D-C

, så hela sidan är

CA=AD+CD=40+CD

Sätt in detta i likformigheten:

CD=\frac{3}{5}(40+CD)

. Multiplicera bort bråket:

CD=24+\frac{3}{5}CD

. Flytta över termen med

CD

CD-\frac{3}{5}CD=24

\frac{2}{5}CD=24

Lös ut

CD

CD=24\cdot\frac{5}{2}=60

Alltså är

CD

lika med

60\,cm

Svar

Träna vidare på samma delprov

Öppna frågebanken och låt resultaten styra vilka uppgifter du får härnäst.

Starta XYZ träning

Fem relaterade uppgifter

Fortsätt i samma provkontext.

Vi prioriterar samma delprov och provpass, därefter samma termin. Varje länk öppnar en riktig provuppgift med full lösning.

Föregående uppgift Nästa uppgift Läs hela XYZ guiden Felsök vanliga mattefel Till hela VT 2012

Se frågan och det rätta svaret.

I den rätvinkliga triangeln ABCABCABC är DEDEDE parallell med ABABAB. ABABAB är 202020 cm. DEDEDE är 121212 cm och ADADAD är 404040 cm. Hur lång är CD\boldsymbol{CD}CD?

Fortsätt i samma provkontext.

I den rätvinkliga triangeln $ABC$ är $DE$ parallell med $AB$ . $AB$ är $20$ cm. $DE$ är $12$ cm och $AD$ är $40$ cm. Hur lång är $\boldsymbol{CD}$ ?