Högskoleprovet VT 2014, Provpass 4, uppgift 12

XYZ uppgift 12. Hela lösningen.

Läs uppgiften i HPKursens riktiga frågevy. Följ sedan resonemanget steg för steg och fortsätt direkt med fler uppgifter från samma delprov.

Visa uppgift och lösning

Provtillfälle: VT 2014
Placering: Provpass 4, uppgift 12
Delprov: XYZ

Uppgiften i originalformat

Se frågan och det rätta svaret.

Fråga 12 av 40

Fullständig lösning

Cirkelbågen

DB

är en halvcirkel med medelpunkten

M

och radien

1\,cm.

Den rätvinkliga triangeln

ABC

är inritad så att punkterna

B

och

C

ligger på cirkelbågen och

AB = AM.

Hur lång är sträckan $\boldsymbol{AC}$ ?

Så löser du uppgiften

Kärnidé

Sätt en enkel koordinataxel på diametern. Då kan man använda att punkten

C

ligger på halvcirkeln, alltså på en cirkel med radie

1

Lösning

1) Av texten och bilden: Cirkelbågen

DB

är en halvcirkel med medelpunkten

M

och radien

1

cm. Alltså är

MB=1

cm och

MD=1

cm, så diametern

DB

är

2

cm.

2) Lägg diametern på en

x

-axel: Sätt

M

i origo. Då kan vi ta

B=1

och

D=-1

på

x

-axeln.

3) Punkten

A

ligger på diametern mellan

M

och

B

. Låt

A

ha koordinaten

x=a

(med

0\lt{}a\lt{}1

). Då är

AM=a

och

AB=1-a

4) Villkoret är

AB=AM

, alltså

1-a=a

. Därför blir

a=\frac{1}{2}

. Alltså ligger

A

mitt emellan

M

och

B

5) Punkten

C

ligger rakt ovanför

A

(vinkelrät markering i bilden), så

AC

är höjden upp till cirkelbågen vid

x=\frac{1}{2}

. Halvcirkeln är övre delen av cirkeln

x^2+y^2=1

. Sätt in

x=\frac{1}{2}

\left(\frac{1}{2}\right)^2+y^2=1

\frac{1}{4}+y^2=1

y^2=\frac{3}{4}

y=\frac{\sqrt{3}}{2}

6) Eftersom

AC

är just denna vertikala sträcka, gäller

AC=\frac{\sqrt{3}}{2}

cm.

Svar

Träna vidare på samma delprov

Öppna frågebanken och låt resultaten styra vilka uppgifter du får härnäst.

Starta XYZ träning

Fem relaterade uppgifter

Fortsätt i samma provkontext.

Vi prioriterar samma delprov och provpass, därefter samma termin. Varje länk öppnar en riktig provuppgift med full lösning.

Föregående uppgift Nästa uppgift Läs hela XYZ guiden Felsök vanliga mattefel Till hela VT 2014

Se frågan och det rätta svaret.

Hur lång är sträckan AC\boldsymbol{AC}AC?

Fortsätt i samma provkontext.

Hur lång är sträckan $\boldsymbol{AC}$ ?