Kärnidé
Låt t vara antalet bitar i översta våningen och låt p vara antalet bitar i varje annan våning. Om tårtan har n våningar gäller
t+(n−1)p=76, och dessutom
t<p eftersom översta har minst.
Lösning
(1) Översta våningen har 12 bitar, alltså
t=12.
Då blir
12+(n−1)p=76 vilket ger
(n−1)p=64.
Det finns flera möjliga faktoriseringar som ger heltal:
- •
n−1=1 och
p=64 ger
n=2 (och
12<64).
- •
n−1=2 och
p=32 ger
n=3 (och
12<32).
- •
n−1=4 och
p=16 ger
n=5 (och
12<16).
Flera olika n fungerar, alltså räcker (1) inte ensam.
(2) Nedersta våningen har 16 bitar. Eftersom alla våningar utom den översta har lika många bitar, måste då
p=16.
Sätt in i totalen:
t+16(n−1)=76.
Då är
t=76−16(n−1)=92−16n.
Vi vet också att översta har minst, alltså
t<16 och dessutom
t>0.
Pröva möjliga n:
- •
Om
n=4 blir
t=28, men då är
t<16 falskt.
- •
Om
n=5 blir
t=12, och då är både
t>0 och
t<16 sant.
- •
Om
n≥6 blir
t≤−4, vilket är omöjligt.
Alltså finns exakt en möjlighet:
n=5. (2) räcker ensam.
(1)+(2) Tillsammans räcker också, men det behövs inte eftersom (2) redan ger ett entydigt n.
Svar
B
