Kärnidé
Vinkeln i centrum som spänner över en viss båge är dubbelt så stor som en vinkel på cirkeln som spänner över samma båge.
Lösning
1) A är cirkelns medelpunkt och B, C, D ligger på cirkeln. Alltså är
AB=AC=AD (alla är radier).
2) B, A och D ligger på samma linje eftersom DB är en diameter. Därför är vinkeln vid B samma oavsett om man använder strålen
BA eller
BD. Alltså är
y=∠CBD.
3) Rita kordans sträcka
CD och betrakta triangeln
ACD. Den är likbent eftersom
AC=AD.
Sätt basvinklarna till
v, alltså
∠ACD=∠CDA=v.
Då gäller vinkelsumman i triangeln:
x+v+v=180∘,
alltså
v=2180∘−x.
4) Betrakta nu triangeln
ABC. Den är likbent eftersom
AB=AC. Vinkeln vid B är
y, alltså är även vinkeln vid C lika stor:
∠ACB=y.
5) Titta på triangeln
BCD.
- •
Vid B är vinkeln
∠CBD=y (från steg 2).
- •
Vid D är vinkeln mellan
DC och
DB samma som mellan
DC och
DA (eftersom
DB och
DA är samma linje), alltså
∠CDB=v.
- •
Vid C ligger strålen
CA mellan
CD och
CB, så
∠BCD=∠ACD+∠ACB=v+y.
6) Använd vinkelsumman i triangeln
BCD:
y+(v+y)+v=180∘.
Det ger
2y+2v=180∘, alltså
y+v=90∘.
Sätt in
v=2180∘−x:
y+2180∘−x=90∘.
Multiplicera med 2:
2y+180∘−x=180∘.
Alltså
x=2y.
Kvantitet I är
x och Kvantitet II är
2y, så de är lika stora.
Svar
C
