Högskoleprovet HT 2012, Provpass 1, uppgift 15

KVA uppgift 15. Hela lösningen.

Läs uppgiften i HPKursens riktiga frågevy. Följ sedan resonemanget steg för steg och fortsätt direkt med fler uppgifter från samma delprov.

Visa uppgift och lösning

Provtillfälle: HT 2012
Placering: Provpass 1, uppgift 15
Delprov: KVA

Uppgiften i originalformat

Se frågan och det rätta svaret.

Fråga 15 av 40

Fullständig lösning

Kvantitet I: Den sammanlagda arean av de två mindre cirklarna.

Kvantitet II: Arean av det skuggade området

Två lika stora cirklar tangerar en större cirkel. De tangerar dessutom varandra i den större cirkelns medelpunkt.

Så löser du uppgiften

Kärnidé

Bestäm radierna med hjälp av tangeringsvillkoren och jämför areorna genom att uttrycka allt med samma radie.

Lösning

Låt den stora cirkelns radie vara

R

och varje liten cirkels radie vara

r

De två små cirklarna tangerar varandra i den stora cirkelns medelpunkt. Det betyder att tangeringspunkten ligger på varje liten cirkels rand, alltså är avståndet från medelpunkten till varje liten cirkels centrum lika med

r

Varje liten cirkel tangerar dessutom den stora cirkeln inuti. Då gäller för en liten cirkel att avståndet mellan cirklarnas medelpunkter är

R-r

Samma avstånd (från stora cirkelns medelpunkt till lilla cirkelns centrum) är alltså både

r

och

R-r

R-r=r

Därför

R=2r

Kvantitet I (summa av areorna av de två små):

2\pi r^2

Den stora cirkelns area är:

\pi R^2=\pi(2r)^2=4\pi r^2

Kvantitet II (det skuggade området) är resten av den stora cirkeln när de två små (vita) cirklarna tas bort:

4\pi r^2-2\pi r^2=2\pi r^2

Alltså är Kvantitet I och Kvantitet II lika stora.

Svar

Träna vidare på samma delprov

Öppna frågebanken och låt resultaten styra vilka uppgifter du får härnäst.

Starta KVA träning

Fem relaterade uppgifter

Fortsätt i samma provkontext.

Vi prioriterar samma delprov och provpass, därefter samma termin. Varje länk öppnar en riktig provuppgift med full lösning.

Föregående uppgift Nästa uppgift Läs hela KVA guiden Felsök vanliga mattefel Till hela HT 2012