Potenslagar

I $5^{3}$ är 5 bas och 3 exponent. Uttrycket betyder $5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$. Exponenten är inte en faktor som ska multipliceras med basen. För en negativ bas krävs parentes: $(-2)^{4}$ betyder fyra faktorer $-2$ och blir 16, medan $-2^{4}$ betyder det negativa av $2^{4}$ och blir $-16$.

Variabelpotensen $x^{4}$ betyder $x \cdot x \cdot x \cdot x$. Koefficienten står separat: $3x^{4}$ betyder $3 \cdot x^{4}$, inte $(3x)^{4}$. Om hela produkten ska upphöjas skrivs parentes, $(3x)^{4}$. Skillnaden påverkar både koefficient och variabelexponent.

Utveckla $x^{3} \cdot x^{4}$ till tre faktorer $x$ följda av fyra faktorer $x$. Totalt finns sju, så produkten är $x^{7}$. Generellt gäller $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}$ för heltalsexponenter där uttrycken är definierade. Baserna måste vara samma. $2^{3} \cdot 3^{3}$ kan inte behandlas genom att addera exponenterna, men kan i stället skrivas $(2 \cdot 3)^{3} = 6^{3}$.

Koefficienter multipliceras för sig. $4x^{2} \cdot 3x^{5} = 12x^{7}$. Om flera variabler finns används lagen oberoende för varje gemensam bas: $a^{2}b^{3} \cdot a^{4}b = a^{6}b^{4}$. En variabel utan synlig exponent har exponent 1.

I $\frac{a^{7}}{a^{3}}$ kan tre faktorer $a$ förkortas i täljare och nämnare, så fyra finns kvar: $a^{4}$. Därför gäller $\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}$ när $a \ne 0$. Om skillnaden blir noll får vi $a^{0} = 1$ för $a \ne 0$. Om den blir negativ leder det till en reciprok, vilket fördjupas i lektionen om avancerade potenser.

I $(a^{3})^{4}$ finns fyra grupper med tre faktorer $a$, alltså totalt tolv. Därför är $(a^{m})^{n} = a^{mn}$. Exponenterna multipliceras, de adderas inte. Uttrycket $a^{3} \cdot a^{4}$ är däremot en produkt med samma bas och ger $a^{7}$. Parentesen skiljer reglerna åt.

Potensen av en produkt följer $(ab)^{n} = a^{n}b^{n}$. Produkten $ab$ upprepas $n$ gånger och faktorerna kan grupperas efter bas. På samma sätt gäller $(\frac{a}{b})^{n} =\frac{a^{n}}{b^{n}}$ när $b \ne 0$. Exponenten verkar på hela täljaren och hela nämnaren.

Regeln gäller inte en summa: $(a + b)^{2}$ är inte $a^{2} + b^{2}$. Utveckling ger $a^{2} + 2ab + b^{2}$. Potenslagarna hanterar produkter och kvoter av faktorer. När addition eller subtraktion binder termerna behöver parentesen utvecklas med distributiva lagen eller en kvadreringsregel.

Separera koefficienter och varje variabelbas. Skriv gärna en mellanrad där exponenterna adderas för respektive bas.

Förkorta koefficienterna och subtrahera exponenten i nämnaren från exponenten i täljaren för samma bas. Ange villkor från ursprungsnämnaren.

Exponenten ska träffa koefficienten och varje variabelfaktor inom parentesen. Ett negativt tecken inuti parentesen ingår i basen.

Förenkla först potenser av produkter och potenser av potenser. Behandla därefter produkt eller kvot med samma bas. Den fasta ordningen gör exponentberäkningen lättare att granska.

Innan du väljer regel bör du ställa tre frågor. Är baserna identiska? Är uttrycket en produkt, kvot eller en potens av en potens? Omfattar parentesen koefficient och minustecken? De frågorna skiljer exponentaddition från exponentmultiplikation och hindrar att en regel används på en summa.

Vid stora numeriska potenser behöver du sällan beräkna hela talet. Förenkla baser och exponenter symboliskt och jämför storleksordning eller faktorisering mot alternativen. Kontrollera genom att utveckla ett litet analogt fall, exempelvis exponenterna 2 och 3, om du tvekar på en regel.

Uttrycken $a^{2}a^{3}, (a^{2})^{3}$ och $a^{2} + a^{3}$ ser besläktade ut men kräver tre olika beslut. Det första är en produkt med samma bas och ger $a^{5}$. Det andra är en potens av en potens och ger $a^{6}$. Det tredje är en summa av olikformiga termer och kan inte sammanföras till en enda potens. Operationen mellan delarna är alltså lika viktig som exponenterna.

När exponenterna är lika men baserna olika kan produktlagen användas i formen $a^{n}b^{n} = (ab)^{n}$. Exempelvis är $2^{5} \cdot 3^{5} = 6^{5}$. För en kvot är $\frac{a^{n}}{b^{n}} = (\frac{a}{b})^{n}$ när nämnaren är tillåten. Den möjligheten kan göra numeriska jämförelser betydligt kortare.

Vid addition av potenser kan faktorisering ibland hjälpa. Uttrycket $2^{7} + 2^{5}$ är inte $2^{12}$, men den minsta gemensamma potensen kan brytas ut: $2^{5}(2^{2} + 1) = 32 \cdot 5 = 160$. På samma sätt blir $x^{6} - x^{4} = x^{4}(x^{2} - 1)$.

Nollvillkoret i kvotlagen ska inte tappas. Uttrycket $\frac{a^{5}}{a^{5}}$ kan förenklas till 1 bara när $a \ne 0$, eftersom ursprungskvoten annars är $\frac{0}{0}$. En förenklad form kan därför ha en större synlig definitionsmängd än originalet. Skriv villkoret innan förkortningen.

Ett kraftfullt motbevis mot en påhittad regel är att välja en enkel bas. Påståendet $a^{m} + a^{n} = a^{m+n}$ faller för $a = 2, m = 1$ och $n = 2$: vänsterledet är $2 + 4 = 6$ medan högerledet är 8. Motexempel hjälper dig återkalla rätt operation under tidspress.

Pariteten hos exponenten styr tecknet för en negativ bas. En jämn heltalsexponent ger positivt värde och en udda ger negativt. Uttrycket $(-a)^{2n}$ är därför icke negativt, medan $(-a)^{2n+1}$ har motsatt tecken mot positivt $a$. Parentesen måste omfatta minustecknet för att slutsatsen ska gälla.

Potensregler kan kombineras till en exponentbalans. I ett uttryck med samma bas kan varje faktor i täljaren bidra positivt till nettoexponenten och varje faktor i nämnaren negativt. För $\frac{a^{3}(a^{2})^{4}}{a^{5}}$ blir nettot $3 + 2 \cdot 4 - 5 = 6$. Den bokföringen är snabb men ska kopplas till de underliggande reglerna.

När baserna är potenser av samma grundtal kan allt skrivas om. Jämförelsen $8^{5}$ mot $4^{7}$ blir $2^{15}$ mot $2^{14}$, så $8^{5}$ är dubbelt så stort. Det exakta heltalsvärdet behövs inte. För en gemensam bas större än 1 avgör den större exponenten.

Om basen ligger mellan 0 och 1 blir ordningen omvänd när exponenten ökar. Exempelvis är $(\frac{1}{2})^{3} =\frac{1}{8}$ större än $(\frac{1}{2})^{5} =\frac{1}{32}$. Båda kan skrivas som positiva potenser i nämnaren, vilket gör jämförelsen tydlig.

En summa kan faktoriseras med lägsta gemensamma potens. $3^{8} + 3^{6} = 3^{6}(3^{2} + 1) = 10 \cdot 3^{6}$. En differens som $5^{7} - 5^{5}$ blir $5^{5}(25 - 1) = 24 \cdot 5^{5}$. Detta är distributiva lagen tillsammans med potenslagen.

Sista siffror i heltalspotenser upprepar ofta ett cykliskt mönster. Potenser av 2 slutar 2, 4, 8, 6 och sedan upprepas cykeln med period fyra. En uppgift som endast frågar efter sista siffran kan därför lösas med exponentens rest vid division med fyra. Metoden ska inte användas om hela värdet krävs.

Även antal nollor kan läsas från faktorer. Varje avslutande nolla i ett positivt heltal kräver ett par $2 \cdot 5 = 10$. I en primtalsfaktorisering bestäms antalet sådana par av den mindre exponenten för 2 och 5. Produkten $2^{7} \cdot 5^{3} \cdot 3$ har därför tre avslutande nollor.

När ett uttryck innehåller både potenser och parenteser ska prioriteringsreglerna tillämpas före potenslagarna. I $(a^{2}b)^{3}$ är hela produkten bas för den yttre potensen. I $a^{2}b^{3}$ saknas den yttre parentesen och exponenterna hör till var sin bas.

En jämförelse kan göras genom kvot. För positiva $A$ och $B$ gäller $A > B$ exakt när $\frac{A}{B} > 1$. Kvoten $\frac{3^{8}}{9^{3}}$ skrivs $\frac{3^{8}}{3^{6}} = 3^{2} = 9$, så $3^{8}$ är nio gånger större. Metoden samlar hela jämförelsen i ett potensuttryck.

En exponentekvation med gemensam bas kan ibland lösas genom att jämföra exponenter. Om $2^{3x} = 2^{12}$ och basen 2 är positiv och inte 1, måste $3x = 12$ och $x = 4$. Om basen vore 1 skulle alla exponenter ge samma värde, ett viktigt specialfall.

Vid blandade baser kan primfaktorisering skapa en gemensam struktur. Ekvationen $8^{x} = 4^{x+1}$ blir $2^{3x} = 2^{2x+2}$, så $3x = 2x + 2$ och $x = 2$. Insättning ger 64 i båda led.

Om baserna inte kan göras lika kan uppskattning räcka för en jämförelse. Begränsa varje bas mellan närliggande enkla tal eller jämför kvoten mot 1. Undvik att expandera potenser till stora heltal om endast ordningen efterfrågas. En korrekt begränsning ska vara tillräckligt skarp för att skilja alternativen utan att påstå ett exakt värde.