Kärnidé
I en regelbunden femhörning är en diagonal en längre kord än en sida, eftersom den spänner över en större vinkel.
Lösning
1) Femhörningen är regelbunden och har omkrets
75cm, alltså är varje sida
575=15cm.
Kvantitet I är därför
15cm.
2) Låt femhörningen ligga i sin omskrivna cirkel med radie
R. En sida (t.ex.
AB) spänner över centralvinkeln
5360∘=72∘.
3) Sträckan
AD är en diagonal. Från
A till
D går man tre hörn, vilket ger centralvinkeln
3⋅72∘=216∘.
Den kortare vägen mellan punkterna i cirkeln motsvarar då vinkeln
360∘−216∘=144∘.
Alltså spänner diagonalen
AD över
144∘, vilket är större än
72∘.
4) En kordas längd i en cirkel kan skrivas som
2Rsin(2θ).
Då får vi
AB=2Rsin36∘ och
AD=2Rsin72∘.
Eftersom
0∘<36∘<72∘<90∘ och sinus är växande där, gäller
sin72∘>sin36∘.
Alltså är
AD>AB.
5) Eftersom
AB=15cm blir
AD>15cm. Då är Kvantitet II större än Kvantitet I.
Svar
B
