Högskoleprovet HT 2020, Provpass 3, uppgift 22

KVA uppgift 22. Hela lösningen.

Läs uppgiften i HPKursens riktiga frågevy. Följ sedan resonemanget steg för steg och fortsätt direkt med fler uppgifter från samma delprov.

Visa uppgift och lösning

Provtillfälle: HT 2020
Placering: Provpass 3, uppgift 22
Delprov: KVA

Uppgiften i originalformat

Se frågan och det rätta svaret.

Fråga 22 av 40

Fullständig lösning

Kvantitet I:

\frac{x}{2}

Kvantitet II:

\left( \frac{x}{4} \right)^2

$\boldsymbol{x \gt 0}$

Så löser du uppgiften

Kärnidé

Jämför genom att skriva båda kvantiteterna som uttryck i

x

och undersöka när skillnaden byter tecken.

Lösning

Kvantitet I är

\frac{x}{2}

. Kvantitet II är

\left(\frac{x}{4}\right)^2=\frac{x^2}{16}

För att se vilken som är störst kan vi jämföra

\frac{x}{2}

och

\frac{x^2}{16}

. Eftersom

x\gt{}0

är även

16\gt{}0

, så vi får multiplicera båda sidor med

16

utan att vända olikhetstecknet:

16\cdot\frac{x}{2}

jämförs med

16\cdot\frac{x^2}{16}

. Det ger

8x

jämfört med

x^2

1) När är Kvantitet I större?

8x\gt{}x^2

0\gt{}x^2-8x

0\gt{}x(x-8)

Med villkoret

x\gt{}0

blir produkten

x(x-8)

negativ när

0\lt{}x\lt{}8

. Alltså är Kvantitet I större än Kvantitet II för

0\lt{}x\lt{}8

. Exempel: om

x=4

får vi

\frac{x}{2}=2

och

\frac{x^2}{16}=1

, alltså I > II.

2) När är de lika? Vid

x=8

får vi

\frac{x}{2}=4

och

\frac{x^2}{16}=4

, alltså I = II.

3) När är Kvantitet II större? För

x\gt{}8

blir

x(x-8)\gt{}0

, alltså

x^2-8x\gt{}0

, vilket ger

x^2\gt{}8x

. Då är

\frac{x^2}{16}\gt{}\frac{x}{2}

, alltså II > I. Exempel: om

x=16

får vi

\frac{x}{2}=8

och

\frac{x^2}{16}=16

, alltså II > I.

Eftersom relationen beror på om

x

är mindre än, lika med eller större än

8

, går det inte att avgöra entydigt.

Svar

Träna vidare på samma delprov

Öppna frågebanken och låt resultaten styra vilka uppgifter du får härnäst.

Starta KVA träning

Fem relaterade uppgifter

Fortsätt i samma provkontext.

Vi prioriterar samma delprov och provpass, därefter samma termin. Varje länk öppnar en riktig provuppgift med full lösning.

Föregående uppgift Nästa uppgift Läs hela KVA guiden Felsök vanliga mattefel Till hela HT 2020

Se frågan och det rätta svaret.

x>0\boldsymbol{x \gt 0}x>0

Fortsätt i samma provkontext.

$\boldsymbol{x \gt 0}$