Högskoleprovet VT 2021 Mars, Provpass 5, uppgift 18

KVA uppgift 18. Hela lösningen.

Läs uppgiften i HPKursens riktiga frågevy. Följ sedan resonemanget steg för steg och fortsätt direkt med fler uppgifter från samma delprov.

Visa uppgift och lösning

Provtillfälle: VT 2021 Mars
Placering: Provpass 5, uppgift 18
Delprov: KVA

Uppgiften i originalformat

Se frågan och det rätta svaret.

Fråga 18 av 40

Fullständig lösning

Kvantitet I: Arean av triangeln ABC

Kvantitet II: Arean av triangeln DEF

Trianglarna ABC och DEF är rätvinkliga. $\boldsymbol{x \gt{} y}$

Så löser du uppgiften

Kärnidé

Båda trianglarna har samma bas

z

och är rätvinkliga, så arean avgörs av höjden. Höjden kan uttryckas med Pythagoras utifrån hypotenusan.

Lösning

1) Arean av en rätvinklig triangel är

\frac12\cdot\text{katet}\cdot\text{katet}

. Här kan vi använda basen

z

och den andra kateten som höjd.

2) I triangeln ABC är

AB=z

och hypotenusan

AC=x

. Höjden är

BC

. Med Pythagoras:

x^2=z^2+BC^2

Alltså

BC^2=x^2-z^2

och

BC=\sqrt{x^2-z^2}

3) I triangeln DEF är

DE=z

och hypotenusan

DF=y

. Höjden är

EF

. Med Pythagoras:

y^2=z^2+EF^2

Alltså

EF^2=y^2-z^2

och

EF=\sqrt{y^2-z^2}

4) Givet

x\gt{}y

får vi

x^2\gt{}y^2

. Då gäller

x^2-z^2\gt{}y^2-z^2

. Eftersom kvadratroten är växande (och båda uttrycken är positiva i en rätvinklig triangel) blir

\sqrt{x^2-z^2}\gt{}\sqrt{y^2-z^2}

, alltså

BC\gt{}EF

5) Båda areor har samma bas

z

, så

\frac12\,z\,BC\gt{}\frac12\,z\,EF

. Alltså är arean av ABC större än arean av DEF.

Svar

Träna vidare på samma delprov

Öppna frågebanken och låt resultaten styra vilka uppgifter du får härnäst.

Starta KVA träning

Fem relaterade uppgifter

Fortsätt i samma provkontext.

Vi prioriterar samma delprov och provpass, därefter samma termin. Varje länk öppnar en riktig provuppgift med full lösning.

Föregående uppgift Nästa uppgift Läs hela KVA guiden Felsök vanliga mattefel Till hela VT 2021 Mars

Se frågan och det rätta svaret.

Trianglarna ABC och DEF är rätvinkliga. x>y\boldsymbol{x \gt{} y}x>y

Fortsätt i samma provkontext.

Trianglarna ABC och DEF är rätvinkliga. $\boldsymbol{x \gt{} y}$