Kärnidé
Sätt en enkel koordinatmodell (sidans längd 1), räkna ut punktens
E läge från liksidigheten och använd skalärprodukt för vinkeln mellan
EC och
ED.
Lösning
1) Av bilden ser man att
ABCD är en kvadrat och att den liksidiga triangeln har basen
AB. Sätt därför kvadratens sida till 1.
2) Välj koordinater:
A=(0,0),
B=(1,0),
C=(1,1),
D=(0,1).
3) Triangeln
ABE är liksidig med sidan 1. Då ligger spetsen
E mitt över
AB och höjden i en liksidig triangel är
23.
Alltså:
E=(21,23).
4) Vi söker vinkeln
∠CED, alltså vinkeln mellan vektorerna från
E till
C respektive
D:
EC=(21,1−23),
ED=(−21,1−23).
Sätt
t=1−23=22−3.
5) Beräkna skalärprodukt och längder:
EC⋅ED=−41+t2.
∣EC∣2=41+t2.
Eftersom vektorerna är speglingar har de samma längd, så
cosθ=∣EC∣2EC⋅ED=41+t2−41+t2.
6) Räkna ut
t2 utan decimaler:
t2=4(2−3)2=47−43.
Då fås
41+t2=48−43=2−3,
−41+t2=46−43.
Alltså
cosθ=2−346−43=4(2−3)6−43.
7) Förenkla bråket genom att först dela med 2:
cosθ=2(2−3)3−23.
Kvoten
2−33−23
kan förenklas genom att multiplicera med
2+3:
(3−23)(2+3)=6+33−43−6=−3,
och
(2−3)(2+3)=1.
Alltså
2−33−23=−3,
så
cosθ=2−3.
8) Vinkeln med
cosθ=2−3 är
θ=150∘.
Svar
C
