Högskoleprovet HT 2015, Provpass 3, uppgift 8

XYZ uppgift 8. Hela lösningen.

Läs uppgiften i HPKursens riktiga frågevy. Följ sedan resonemanget steg för steg och fortsätt direkt med fler uppgifter från samma delprov.

Visa uppgift och lösning

Provtillfälle: HT 2015
Placering: Provpass 3, uppgift 8
Delprov: XYZ

Uppgiften i originalformat

Se frågan och det rätta svaret.

Fråga 8 av 40

Fullständig lösning

Linjerna

L_1

och

L_2

är parallella. Två cirklar tangerar varandra och båda linjerna. Cirklarnas radier är

3\,cm.

Punkten

D

och punkten

B

är medelpunkter i respektive cirkel.

Vad är arean av fyrahörningen $\boldsymbol{ABCD}$ ?

Så löser du uppgiften

Kärnidé

Tangering ger bestämda avstånd: radien står vinkelrätt mot en tangent, och två lika stora cirklar som tangerar varandra har centrumavstånd lika med diametern.

Lösning

1) Varje cirkel har radie

3

. Eftersom varje cirkel tangerar både

L_1

och

L_2

måste avståndet mellan linjerna vara en diameter:

6

2) Välj ett koordinatsystem där

L_2

är

y=0

och

L_1

är

y=6

. Då ligger varje cirkels centrum mitt emellan linjerna, alltså på

y=3

3) Sätt vänstra cirkelns centrum

D

till

(0,3)

. Punkten

A

är cirkelns tangentpunkt mot

L_2

(syns i figuren), alltså rakt under

D

A=(0,0)

. Därför är

AD=3

4) Cirklarna tangerar varandra och har samma radie, så avståndet mellan deras medelpunkter är

DB=2\cdot 3=6

. Båda centrum ligger på

y=3

, så vi får

B=(6,3)

5) Punkten

C

är högra cirkelns tangentpunkt mot

L_1

(syns i figuren), alltså rakt ovanför

B

C=(6,6)

. Därför är

BC=3

6) Fyrahörningen har nu hörn

A(0,0)

B(6,3)

C(6,6)

D(0,3)

. Sidorna

AD

och

BC

är lodräta och lika långa (

3

). Avståndet mellan de lodräta linjerna

x=0

och

x=6

är

6

. Alltså kan arean tas som bas gånger höjd:

\text{area}=3\cdot 6=18

Enheten blir

cm^2

Svar

Träna vidare på samma delprov

Öppna frågebanken och låt resultaten styra vilka uppgifter du får härnäst.

Starta XYZ träning

Fem relaterade uppgifter

Fortsätt i samma provkontext.

Vi prioriterar samma delprov och provpass, därefter samma termin. Varje länk öppnar en riktig provuppgift med full lösning.

Föregående uppgift Nästa uppgift Läs hela XYZ guiden Felsök vanliga mattefel Till hela HT 2015

Se frågan och det rätta svaret.

Vad är arean av fyrahörningen ABCD\boldsymbol{ABCD}ABCD?

Fortsätt i samma provkontext.

Vad är arean av fyrahörningen $\boldsymbol{ABCD}$ ?