Högskoleprovet HT 2014, Provpass 5, uppgift 7

XYZ uppgift 7. Hela lösningen.

Läs uppgiften i samma frågevy som i träningsläget. Följ sedan resonemanget steg för steg och fortsätt direkt med fler uppgifter från samma delprov.

Uppgiften i originalformat

Se frågan och det rätta svaret.

Fråga 7 av 40

Fullständig lösning

0 \lt x \lt 1 \lt y

Så löser du uppgiften

För att vara alltid mindre än 1 måste uttrycket bli mindre än 1 för alla tal som uppfyller

0\lt{}x\lt{}1\lt{}y

Vi vet av villkoret att

0\lt{}x

och

1\lt{}y

. Då är både

x

och

y

positiva.

\frac{x}{y}

Eftersom

1\lt{}y

gäller att

y\gt{}1

och alltså är

y

större än

x

, eftersom

x\lt{}1

.
Alltså

x\lt{}y

.
När vi delar en positiv olikhet

x\lt{}y

med det positiva talet

y

får vi

\frac{x}{y}\lt{}\frac{y}{y}=1

.
Alltså är

\frac{x}{y}

alltid mindre än 1.

För att se att de andra inte är ”alltid mindre än 1” räcker det att de kan bli större än 1:

xy

Här kan produkten bli större än 1, till exempel om

x

är nära 1 och

y

är större än 1.

y-x

Här kan skillnaden bli större än 1, till exempel om

y

är mycket större än 1.

\frac{y}{x^2}

Eftersom

0\lt{}x\lt{}1

gäller

0\lt{}x^2\lt{}1

, så

\frac{1}{x^2}\gt{}1

.
Då blir

\frac{y}{x^2}=y\cdot\frac{1}{x^2}\gt{}y\gt{}1

, alltså aldrig mindre än 1.

Träna vidare på samma delprov

Öppna frågebanken och låt resultaten styra vilka uppgifter du får härnäst.

Fem relaterade uppgifter

Vi prioriterar samma delprov och provpass, därefter samma termin. Varje länk öppnar en riktig provuppgift med full lösning.