Högskoleprovet VT 2021 Maj, Provpass 2, uppgift 3

XYZ uppgift 3. Hela lösningen.

Läs uppgiften i samma frågevy som i träningsläget. Följ sedan resonemanget steg för steg och fortsätt direkt med fler uppgifter från samma delprov.

Uppgiften i originalformat

Se frågan och det rätta svaret.

Fråga 3 av 40

Fullständig lösning

Så löser du uppgiften

Jämför talet med 14 och 13,5 genom att kvadrera, eftersom uttrycket är positivt.

Sätt

x=\sqrt{65}+\sqrt{35}

. Då är

x\gt{}0

och vi kan kvadrera utan att vända några olikheter.

Beräkna

x^2

x^2=(\sqrt{65}+\sqrt{35})^2

=65+35+2\sqrt{65\cdot 35}

=100+2\sqrt{2275}

Eftersom

2275=25\cdot 91

får vi:

x^2=100+10\sqrt{91}

1) Visa att

x\lt{}14

:
Det räcker att visa

x^2\lt{}14^2

x^2\lt{}196 \Leftrightarrow 100+10\sqrt{91}\lt{}196

\Leftrightarrow 10\sqrt{91}\lt{}96

\Leftrightarrow \sqrt{91}\lt{}\frac{48}{5}

Kvadrera:

91\lt{}\left(\frac{48}{5}\right)^2

91\lt{}\frac{2304}{25}

Det stämmer, alltså är

x\lt{}14

2) Visa att

x\gt{}13{,}5

(för att vara närmare 14 än 13):

13{,}5=\frac{27}{2}

. Det räcker att visa

x^2\gt{}\left(\frac{27}{2}\right)^2

x^2\gt{}\frac{729}{4} \Leftrightarrow 100+10\sqrt{91}\gt{}\frac{729}{4}

Multiplicera med 4:

400+40\sqrt{91}\gt{}729

\Leftrightarrow 40\sqrt{91}\gt{}329

\Leftrightarrow \sqrt{91}\gt{}\frac{329}{40}

Kvadrera:

91\gt{}\left(\frac{329}{40}\right)^2

Det stämmer eftersom

\left(\frac{329}{40}\right)^2\lt{}\left(\frac{360}{40}\right)^2=81

och

91\gt{}81

.
Alltså är

x\gt{}13{,}5

Vi har nu

13{,}5\lt{}x\lt{}14

, så talet är närmare 14 än 13. Närmaste heltal är alltså 14.

Träna vidare på samma delprov

Öppna frågebanken och låt resultaten styra vilka uppgifter du får härnäst.

Fem relaterade uppgifter

Vi prioriterar samma delprov och provpass, därefter samma termin. Varje länk öppnar en riktig provuppgift med full lösning.