Högskoleprovet HT 2023, Provpass 2, uppgift 11

XYZ uppgift 11. Hela lösningen.

Läs uppgiften i HPKursens riktiga frågevy. Följ sedan resonemanget steg för steg och fortsätt direkt med fler uppgifter från samma delprov.

Visa uppgift och lösning

Provtillfälle: HT 2023
Placering: Provpass 2, uppgift 11
Delprov: XYZ

Uppgiften i originalformat

Se frågan och det rätta svaret.

Fråga 11 av 40

Fullständig lösning

m

är ett positivt heltal sådant att

m \lt{} p.

p

är ett primtal sådant att

4 \lt{} p \lt{} 10.

Vilket svarsalternativ är med säkerhet korrekt?

Så löser du uppgiften

Kärnidé

Bestäm vilka värden

p

kan ha och kontrollera om uttrycket då alltid blir ett heltal, oavsett vilket positivt heltal

m

som väljs med

m\lt{}p

Lösning

Av villkoren får vi att

p

är ett primtal och

4\lt{}p\lt{}10

. De primtal som ligger mellan 4 och 10 är bara

p\in\{5,7\}

Vi testar nu alternativen och ser vad som är säkert (alltid sant) för alla tillåtna

m

\frac{p}{m}

är ett heltal. Det kräver att

m

delar

p

. Men

m

kan vara många olika tal mindre än

p

. Exempel: välj

p=7

och

m=2

. Då är

\frac{p}{m}=\frac{7}{2}

, som inte är ett heltal. Alltså är A inte säkert korrekt.

\frac{36m}{p}

är ett heltal. Om det ska vara heltal för alla

m

måste

p

alltid dela 36. Men

p

kan vara 5 eller 7, och varken 5 eller 7 delar 36. Exempel: välj

p=5

och

m=1

. Då är

\frac{36m}{p}=\frac{36}{5}

, inte ett heltal. Alltså är B inte säkert korrekt.

\frac{m}{p}

är ett heltal. Eftersom

m

är positivt och

m\lt{}p

gäller

0\lt{}\frac{m}{p}\lt{}1

. Ett heltal mellan 0 och 1 finns inte. Alltså kan

\frac{m}{p}

inte vara ett heltal, och C är inte säkert korrekt.

\frac{35m}{p}

är ett heltal. Eftersom

p\in\{5,7\}

och

35=5\cdot 7

är 35 delbart med både 5 och 7. Alltså är

\frac{35}{p}

ett heltal oavsett om

p=5

eller

p=7

. Därför är

\frac{35m}{p}=\left(\frac{35}{p}\right)m

produkten av två heltal, vilket alltid blir ett heltal för varje heltal

m

Svar

Träna vidare på samma delprov

Öppna frågebanken och låt resultaten styra vilka uppgifter du får härnäst.

Starta XYZ träning

Fem relaterade uppgifter

Fortsätt i samma provkontext.

Vi prioriterar samma delprov och provpass, därefter samma termin. Varje länk öppnar en riktig provuppgift med full lösning.

Föregående uppgift Nästa uppgift Läs hela XYZ guiden Felsök vanliga mattefel Till hela HT 2023