Kärnidé
För 10 tal bestäms medianen av de två mittersta talen (det 5:e och 6:e i storleksordning). Medianen ger då ett exakt villkor, och typvärdet (mode) säger att 100 måste förekomma flest gånger.
Lösning
Sätt talen i storleksordning
x1≤x2≤⋯≤x10.
Eftersom det finns 10 mätvärden är medianen medelvärdet av det 5:e och 6:e talet:
2x5+x6=100
Alltså
x5+x6=200.
Vi ska visa att mer än hälften (alltså minst 6 av 10) är
≥100.
Anta motsatsen: att högst 5 mätvärden är
≥100.
Då är minst 5 mätvärden
<100. Det betyder att även det 5:e talet är under 100:
x5<100.
Men då ger villkoret
x5+x6=200 att
x6=200−x5>100.
Eftersom listan är sorterad gäller då också
x6,x7,x8,x9,x10>100.
Det innebär att de sista fem talen är strikt större än 100, alltså finns det inga tal som är exakt 100.
Det strider mot att typvärdet är 100 (för att 100 ska vara typvärde måste 100 förekomma minst en gång, och dessutom oftare än andra värden).
Alltså kan antagandet inte stämma. Därför måste minst 6 av de 10 mätvärdena vara
≥100, vilket är precis påstående C.
Svar
C
